3産業医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

7箱を円周上に時計回りに1から7まで並べ、箱 $i$ から次の箱 $i+1$ へ移す本数を符号付きで $f_i$ とする（箱7の次は箱1）。$f_i<0$ なら反時計回りに $|f_i|$ 本移すことを表す。各箱の初期本数は $(24,15,17,13,28,14,29)$ で、目標は各20本である。箱 $i$ の本数について $$\text{初期本数}+f_{i-1}-f_i=20$$ が必要である。$f_7=t$ とおくと、順に $$(f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7) =(t+4,t-1,t-4,t-11,t-3,t-9,t)$$ となる。したがって輸送量は $$F(t)=|t+4|+|t-1|+|t-4|+|t-11|+|t-3|+|t-9|+|t|$$ である。

この絶対値和の折れ曲がる点は $t=-4,0,1,3,4,9,11$。小さい順に並べた中央の値は $3$ である。実際、$t$ が3を越えると傾きが負から正に変わるので、$F(t)$ は $t=3$ で最小となる。そこで $$(f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7)=(7,2,-1,-8,0,-6,3)$$ であり、輸送量は $$F(3)=7+2+1+8+0+6+3=27.$$ この移動は、箱1から2へ7本、2から3へ2本、4から3へ1本、5から4へ8本、7から6へ6本、7から1へ3本動かすことで実現する。各箱は最終的に20本となるため、この下限は達成され、最小値は27本である。