2産業医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) 回転軸 $y=x$ に沿う座標を $\displaystyle u=\frac{x+y}{\sqrt2}$、軸からの距離を $\displaystyle r=\frac{x-y}{\sqrt2}$ とする。領域は $y\leq x$ なので $r\geq0$ であり、$y=x-\sqrt2r$。これが放物線 $y=x^2-x$ の上側にある条件は $$x^2-2x+\sqrt2r\leq0,$$ すなわち $\displaystyle 0\leq r\leq\frac1{\sqrt2}$ かつ $$1-\sqrt{1-\sqrt2r}\leq x\leq1+\sqrt{1-\sqrt2r}.$$ 固定した $r$ に対する軸方向の長さは $\Delta u=\sqrt2\,\Delta x=2\sqrt2\sqrt{1-\sqrt2r}$。この線分を回転した円筒殻の体積を足すと $$\displaystyle V=2\pi\int_0^{1/\sqrt2}r\Delta u\,dr =4\pi\sqrt2\int_0^{1/\sqrt2}r\sqrt{1-\sqrt2r}\,dr.$$ $q=1-\sqrt2r$ と置けば、積分は $\displaystyle \frac12\int_0^1(1-q)q^{1/2}dq=\frac2{15}$ となる。よって $\displaystyle V=\frac{8\sqrt2\pi}{15}$。

(2) $x>0$ なら $\pi^x>e^x$ なので右辺は左辺より大きく、解はない。$x=0$ では右辺が $1+1=2$ となり解でない。$x<0$ なら $|x-2|=2-x$ だから $$\left||x-2|-1\right|=1-x>1.$$ 一方、$0<\pi^x<e^x<1$ より $e^x-\pi^x<1$ であり、等式は成り立たない。したがって実数解は0個。

(3) $7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$ だから最初の平方根は $a=2-\sqrt3$ である。$b=\sqrt{36+9\sqrt{15}}$ とおく。平方して比較すると $$b^2-(a+8)^2=-67+9\sqrt{15}+20\sqrt3>0,$$ ここでは $\displaystyle \sqrt{15}>\frac{19}{5}$, $\displaystyle \sqrt3>\frac{17}{10}$ を用いた。また $$(a+9)^2-b^2=88-22\sqrt3-9\sqrt{15}>0$$ である（$\sqrt3<2$, $\sqrt{15}<4$）。したがって $a+8<b<a+9$、ゆえに $-9<a-b<-8$ であり、床関数の値は $-9$。

(4) $t=x-100$ と置くと積分は $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\sqrt{1-t^2}\,dt$$ となる。これは半径1の半円の面積なので $\displaystyle \frac\pi2$。

(5) 被積分関数は偶関数である。$u=\tan x$ と置くと $dx=du/(1+u^2)$ だから $$\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^4x\,dx =2\int_0^1\frac{u^4}{1+u^2}\,du =2\int_0^1\left(u^2-1+\frac1{1+u^2}\right)du =\frac\pi2-\frac43.$$

(6) $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ と置く。$AC^2=5$, $BC^2=2$ から $C=(2,1)$（またはその $x$ 軸対称の点）とできる。$AB$ の垂直二等分線は $\displaystyle x=\frac12$ で、外心は $\displaystyle O=(\frac12,\frac32)$。$AB$ に垂直な $C$ からの高さは $x=2$、$BC$ に垂直な $A$ からの高さは $y=-x$ だから、垂心は $H=(2,-2)$。したがって $$\displaystyle OH=\sqrt{\left(2-\frac12\right)^2+\left(-2-\frac32\right)^2}=\frac{\sqrt{58}}2.$$

(7) 全ての二点間に線分を引くと、まず $\displaystyle \binom n2$ 本の弦を加えるたびに少なくとも1領域ずつ増える。さらに、円周上の任意の4点を選ぶと、その四角形の二対角線が内部で1回交差する。3本以上の線が一点に集まらない条件により、これらの交点は互いに別であり、それぞれ弦を1本ずつ増やすごとに追加の領域を1つ作る。したがって $$\displaystyle a_n=1+\binom n2+\binom n4.$$ よって $$a_{10}=1+45+210=256,\qquad a_{20}=1+190+4845=5036.$$