1福島県立医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $r=a+b$, $t=\sqrt{ab}$ とおくと、両辺を平方して $$r-2t=2-\sqrt{3},\qquad 2t=r-2+\sqrt{3}$$ を得る。ここで $r$ は有理数であり、$t^2=ab$ も有理数である。$q=r-2$ とおけば $$\displaystyle t^2=\frac{(q+\sqrt{3})^2}{4} =\frac{q^2+3+2q\sqrt{3}}{4}$$ が有理数だから、$q=0$ である。よって $a+b=2$、$\sqrt{ab}=\sqrt{3}/2$、すなわち $ab=3/4$ である。$a,b$ は方程式 $X^2-2X+3/4=0$ の2根なので $3/2,1/2$ であり、左辺が正であることから $a>b$。したがって $a=3/2,\ b=1/2$。実際、$(\sqrt{3/2}-\sqrt{1/2})^2=2-\sqrt{3}$ である。

(2) 余弦定理より $$a^2=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|^2 =b^2+c^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$$ また、$AP:PB=2:1$、$BQ:QC=2:1$ より $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP} =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$$ これを平方すると $$\displaystyle PQ^2=\frac{c^2}{9}+\frac{4b^2}{9} -\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac{2a^2+2b^2-c^2}{9},$$ よって $\displaystyle PQ=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{3}$。

(3) $\cos 2x=\sin(\pi/2-2x)$ と書くと、$\sin 3x=\sin(\pi/2-2x)$ である。$\sin A=\sin B$ の解は $A=B+2k\pi$ または $A=\pi-B+2k\pi$（$k$ は整数）なので、 $$\displaystyle 3x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi \quad\text{または}\quad 3x=\frac{\pi}{2}+2x+2k\pi.$$ 前者から $x=\pi/10+2k\pi/5$ を得て、$0\le x\le\pi$ では $k=0,1,2$、すなわち $x=\pi/10,\pi/2,9\pi/10$。後者からは $x=\pi/2+2k\pi$ となり、この範囲では $x=\pi/2$ だけで、すでに得た解に含まれる。

(4) 部分積分により $$\displaystyle \int (\log x)^2\,dx=x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr),\qquad \int x\log x\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}.$$ したがって $$\displaystyle \int (\log x-x)^2\,dx =x\bigl((\log x)^2-2\log x+2\bigr)-x^2\log x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.$$ これを $1$ から $e$ まで評価すると $$\displaystyle \int_1^e(\log x-x)^2\,dx =\left(e-\frac{e^2}{2}+\frac{e^3}{3}\right)-\frac{17}{6} =\frac{e^3}{3}-\frac{e^2}{2}+e-\frac{17}{6}.$$

(5) $z=x+iy$ とおき、与式の両辺を平方すると $$(6-2y)^2+4x^2=(x-3)^2+y^2.$$ 整理して平方完成すると $$(x+1)^2+(y-4)^2=8.$$ したがって、点 $(x,y)$ は中心 $(-1,4)$、半径 $2\sqrt{2}$ の円周上にある。原点と中心の距離は $\sqrt{17}>2\sqrt{2}$ だから、原点から円周までの最短距離は $\sqrt{17}-2\sqrt{2}$ である。

(6) ある整数 $x$ に対し、条件を満たす整数 $y$ の個数は、$nx\le 2n^2-x^2$ のとき $$2n^2-x^2-nx+1$$ である。この不等式は $$(x+2n)(x-n)\le 0$$ と同値だから、$-2n\le x\le n$。よって求める個数を $N$ とすると $$\displaystyle N=\sum\limits _{x=-2n}^{n}(2n^2-x^2-nx+1) =(3n+1)(2n^2+1)-\sum\limits _{x=-2n}^{n}x^2-n\sum\limits _{x=-2n}^{n}x.$$ ここで $$\displaystyle \sum\limits _{x=-2n}^{n}x=-\frac{n(3n+1)}{2},\qquad \sum\limits _{x=-2n}^{n}x^2 =\sum\limits _{k=1}^{2n}k^2+\sum\limits _{k=1}^{n}k^2 =\frac{n(2n+1)(3n+1)}{2}.$$ これらを代入して整理すると $$\displaystyle N=\frac{(3n+1)(3n^2-n+2)}{2}.$$

(1)和積を決めて順序を判定、(2)内分点の位置ベクトル、(3)正弦方程式の二解系列、(4)部分積分、(5)円の平方完成と距離差、(6)xごとの整数yの個数を総和する。全小問の境界と重複を確認する。