1藤田医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=e^x>0$ とおく。与式は $$3t^2-7t-6=(3t+2)(t-3)=0$$ となる。$t>0$ だから $t=3$ である。$e^{kx}=(e^x)^k=3^k=243=3^5$ より、$k=5$ である。

(2) $2x-x^2=x(2-x)$ は $-2\leq x\leq0$ で非正、$0\leq x\leq2$ で非負である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-2}^{2}\bigl(|2x-x^2|+x^2+2x+2\bigr)\,dx &=\int_{-2}^{0}(2x^2+2)\,dx+\int_{0}^{2}(4x+2)\,dx\\ &=\frac{28}{3}+12=\frac{64}{3}. \end{aligned}$$ よってイウは $64$、エは $3$ である。

(3) $r=|x-5|$ とおくと、$r$ は非負整数で、$y$ は $$\displaystyle \max(1,r)\leq y\leq\left\lfloor10-\frac{r^2}{5}\right\rfloor$$ を満たす整数である。$r\geq6$ では上限が下限より小さい。$r=0,1,2,3,4,5$ に対する $y$ の個数は順に $10,9,8,6,3,1$ である。$r=0$ のとき $x=5$ は1通り、$r>0$ のとき $x=5\pm r$ は2通りだから、組の総数は $$10+2(9+8+6+3+1)=64.$$

(4) $\overline{z_1}z_2$ の実部は $|z_1||z_2|\cos(\arg z_2-\arg z_1)=2\cos(\pi/6)=\sqrt3$ である。したがって $$|z_1+kz_2|^2=1+2\sqrt3\,k+4k^2.$$ 分子を有理化すると $$\displaystyle \frac{|z_1+kz_2|-1}{k} =\frac{2\sqrt3+4k}{|z_1+kz_2|+1} \longrightarrow\sqrt3.$$ よってキは $3$ である。

(5) $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AC}$ とおく。$|\boldsymbol{u}|^2=4$、$|\boldsymbol{v}|^2=9$、$|\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}|^2=BC^2=16$ だから $$\displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\frac{4+9-16}{2}=-\frac32.$$ $H$ を $B$ から $C$ へ向かう線分上の $H=B+t(C-B)$ と表すと $$\overrightarrow{AH}=(1-t)\boldsymbol{u}+t\boldsymbol{v}, \qquad \overrightarrow{BC}=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}.$$ 垂直条件より $$\displaystyle 0=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC} =(1-t)\left(-\frac{11}{2}\right) +t\left(\frac{21}{2}\right), \qquad t=\frac{11}{32}.$$ $0<t<1$ なので $H$ は実際に線分 $BC$ 上にある。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{AH}= \frac{1}{32}\left(21\overrightarrow{AB}+11\overrightarrow{AC}\right).$$

(6) $F(x)=x^2-1+3\cos(2\pi x)$ とおく。偶関数であり、$|x|>2$ なら $F(x)\geq x^2-4>0$ である。$F(0)=2$、$F(1/2)=-15/4$、$F(1)=3$、$F(3/2)=-7/4$、$F(2)=6$ である。また $$F'(x)=2x-6\pi\sin(2\pi x), \qquad F''(x)=2-12\pi^2\cos(2\pi x).$$ $1/2\le x\le1$ と $3/2\le x\le2$ では $\sin(2\pi x)\leq0$ だから $F'(x)>0$ で、端点の符号から各区間にちょうど1根ある。

$0\le x\le1/2$ では $\cos(2\pi x)$ が単調減少するので $F''$ は負から正へ一度だけ変わる。$F'(0)=0$、$F'(1/2)=1>0$ より $F'$ は一度減少してから増加し、$F$ には極小が1個ある。$F(0)>0$、$F(1/2)<0$ なので、下降中にちょうど1根あり、極小後も右端が負だから根は増えない。

$1\le x\le3/2$ でも $F''$ は負から正へ一度だけ変わる。$F'(1)=2>0$、$F'(5/4)=5/2-6\pi<0$、$F'(3/2)=3>0$ より、$F$ は極大と極小を各1個もつ。$F(1)>0$、$F(5/4)=9/16>0$、$F(3/2)<0$ だから、極大後の下降中にちょうど1根あり、最後の上昇中も負のままである。正の範囲には計4根、負の範囲にも対称な4根があり、$0$ は根でない。よって実数解は $8$ 個である。

(7) $2$ でも $3$ でも割り切れない正の整数は $$6j+1,\quad 6j+5\qquad(j=0,1,2,\ldots)$$ の順に各組2項ずつ並ぶ。$2020=2\cdot1010$ なので第2020項は $j=1009$ の組の後者で $$6\cdot1009+5=6059.$$ また第1項から第2020項までの和は $$\displaystyle S=\sum\limits _{j=0}^{1009}\bigl((6j+1)+(6j+5)\bigr) =\sum\limits _{j=0}^{1009}(12j+6) =6\cdot1010^2=6120600.$$ したがって $S/2020=3030$ である。

(8) $B=\angle ABC$、$D=\angle ADC$、$d=AC$ とおく。円に内接する四角形なので $D=\pi-B$ である。余弦定理より $$\begin{aligned} d^2&=18^2+18^2-2\cdot18^2\cos B=648-648\cos B,\\ d^2&=46^2+18^2-2\cdot46\cdot18\cos D=2440+1656\cos B. \end{aligned}$$ 両式から $\cos B=-7/9$、$0<B<\pi$ より $\sin B=4\sqrt2/9$、さらに $d=24\sqrt2$ となる。三角形 $ABC$ の正弦定理から、この四角形の外接円の半径は $$\displaystyle R=\frac{d}{2\sin B} =\frac{24\sqrt2}{2(4\sqrt2/9)}=27.$$ 実際に指定された辺を持つ内接四角形は構成できる。半径 $27$ の円で $\sin(\theta/2)=18/(2\cdot27)=1/3$ となる小弧の中心角 $\theta$ を取る。$1/3<1/2$ より $0<\theta<\pi/3$ で、三つの小弧を順に $AB,BC,CD$ に割り当てても $3\theta<\pi$ である。三倍角公式から $$\displaystyle DA=2R\sin\frac{3\theta}{2} =54\left(3\cdot\frac13-4\cdot\frac1{27}\right)=46.$$ したがって四角形は実現し、求めた半径 $27$ は一意である。なお、一般に $R\geq23$ から長さ $18$ の弦の小弧角は $\theta<\pi/3$ である。もし $AB,BC,CD$ の一つを大弧 $2\pi-\theta$ として頂点を巡るなら、残りの弧長は合計 $\theta$ しかなく、他の二つの長さ $18$ の弦の弧を収められない。よって三つとも小弧となる。

(9) 誤入力時の得点の和は $100\cdot80=8000$、二乗和は分散の公式から $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{100}x_i^2=100(320+80^2)=672000.$$ 二人をそれぞれ $0$ 点から $100$ 点へ修正すると、得点の和は $8200$、二乗和は $692000$ になる。したがって新しい平均は $8200/100=82$、分散は $$\displaystyle \frac{692000}{100}-82^2=6920-6724=196.$$

(10) 位取りに従って十進数に直すと $$\displaystyle 51.3_{(6)}=5\cdot6+1+\frac36=\frac{63}{2}, \qquad 24.1_{(6)}=2\cdot6+4+\frac16=\frac{97}{6}.$$ したがって和は $$\displaystyle \frac{63}{2}+\frac{97}{6}=\frac{143}{3}=47+\frac23.$$ $47=5\cdot9+2=52_{(9)}$、$\displaystyle \frac23=\frac69=0.6_{(9)}$ だから、求める九進表示は $52.6_{(9)}$ である。