3藤田医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{楕円の焦点は }F=(0,\sqrt3),\ F\prime=(0,-\sqrt3)\text{。したがって、}F\text{ を通り傾き }m\text{ の直線は}\;y=mx+\sqrt3.\quad \text{これを楕円に代入すると}\;(m^2+4)x^2+2m\sqrt3x-1=0.\text{ 2根を }x_A,x_B\text{ とすると判別式は }16(m^2+1)\text{ なので}\;|x_A-x_B|=\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+4}.\text{ 縦の差は }m\text{ 倍だから}\;AB=|x_A-x_B|\sqrt{1+m^2}=\frac{4(m^2+1)}{m^2+4}.\quad \text{楕円を }(\cos t,2\sin t)\text{ と表すと、その点から }F\prime\text{ までの距離は}\;\sqrt{\cos^2t+(2\sin t+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3\sin t\text{（右辺は正）。}A,B\text{ のパラメータを }t,u\text{ とする。2根の和 }x_A+x_B=-2m\sqrt3/(m^2+4)\text{ より}\;2(\sin t+\sin u)=y_A+y_B=m(x_A+x_B)+2\sqrt3=\frac{8\sqrt3}{m^2+4}.\text{ よって}\;AF\prime+F\prime B=4+\sqrt3(\sin t+\sin u)=4+\frac{12}{m^2+4}\leq7\text{。等号は }m=0\text{。}\quad m=0\text{ なら弦は }y=\sqrt3\text{、}D\text{ は焦点 }F\prime\text{ を含まない上側の弓形である。従って}\;[D]=\int_{\sqrt3}^2 2\sqrt{1-y^2/4}\,dy=\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{2}.\quad m=\sqrt3\text{ のとき直線は }y=\sqrt3(x+1)\text{。楕円との交点の }x\text{ 座標は }-1,1/7\text{ で、}D\text{ はこの範囲で直線より上、楕円上半分より下にある。回転断面は外半径 }2\sqrt{1-x^2}\text{、内半径 }\sqrt3(x+1)\text{ の円環なので}\;V=\pi\int_{-1}^{1/7}\{4(1-x^2)-3(x+1)^2\}dx=\pi\int_{-1}^{1/7}(1-7x^2-6x)dx=\frac{256\pi}{147}.$$