3岩手医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

放物線 $C:y=x^2$ 上の $x=t$ における接線は $y=2tx-t^2$ である。したがって、$A(a,a^2)$、$B(b,b^2)$ における接線の交点 $P$ は $$\displaystyle P\left(\frac{a+b}{2},ab\right)$$ となる。

$d=b-a>0$ とおくと、 $$\displaystyle \overrightarrow{PA}=\left(-\frac d2,-ad\right),\qquad \overrightarrow{PB}=\left(\frac d2,bd\right).$$ よって内積と大きさは $$\displaystyle \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =-d^2\left(\frac14+ab\right),\quad |\overrightarrow{PA}|=\frac d2\sqrt{1+4a^2},\quad |\overrightarrow{PB}|=\frac d2\sqrt{1+4b^2}.$$ 内積による角の余弦の公式から $$\displaystyle \cos\theta =\frac{-1-4ab}{\sqrt{1+4a^2}\sqrt{1+4b^2}}.$$ したがって問1は $\text{ア}=-,\text{イ}=1,\text{ウ}=4,\text{エ}=1,\text{オ}=4,\text{カ}=1,\text{キ}=4$ である。

問2では $x=(a+b)/2,\ y=ab$ とおく。角条件 $\theta=5\pi/6$ と上式より $$\displaystyle \frac{1+4y}{\sqrt{(1+4a^2)(1+4b^2)}}=\frac{\sqrt3}{2},$$ 特に $1+4y>0$、すなわち $\displaystyle y>-\frac14$ である。両辺を二乗し、$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4x^2-2y$ を用いると $$4(1+4y)^2=3\{1+4(a^2+b^2)+16y^2\} =3(1+16x^2-8y+16y^2).$$ 整理して $$16y^2+56y+1-48x^2=0,$$ したがって $$\displaystyle x^2-\frac13\left(y+\frac74\right)^2=-1.$$ この条件は必要条件だけでなく十分条件でもある。実際、この双曲線上で $\displaystyle y>-\frac14$ なら $$\displaystyle x^2-y=\frac{(4y+1)^2}{48}>0.$$ よって $u^2-2xu+y=0$ は異なる二つの実数解 $a<b$ をもち、それらを接点の $x$ 座標とすれば、和は $2x$、積は $y$ となる。上の双曲線の式と $1+4y>0$ を用いて余弦の式に戻せば $\cos\theta=-\sqrt3/2$ だから、確かに $\theta=5\pi/6$ である。

双曲線を $y$ について解くと $$\displaystyle y=-\frac74\pm\sqrt{3(x^2+1)}.$$ 条件を満たすのは上側の枝 $$\displaystyle C':\quad y=\sqrt{3(x^2+1)}-\frac74$$ である。下側枝は常に $\displaystyle -\frac74-\sqrt3$ 以下なので条件を満たさない。上側枝は $x=0$ で最小となり、その値 $\displaystyle \sqrt3-\frac74$ は $\displaystyle \sqrt3>\frac32$ より $\displaystyle -\frac14$ より大きいから、上側枝全体が条件を満たす。したがって最小値は $$\displaystyle y_{\min}=\sqrt3-\frac74$$ である。 したがって、$C'$ は中心 $(0,-7/4)$ の双曲線の上側の枝であり、$y$ 軸に関して対称、頂点は $(0,\sqrt3-7/4)$、漸近線は $y+7/4=\pm\sqrt3\,x$ である。

問3では $y=0$ として $$\displaystyle x^2-\frac{(7/4)^2}{3}=-1 \quad\text{より}\quad x^2=\frac1{48}.$$ よって交点は $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{12},0\right),\qquad \left(-\frac{\sqrt3}{12},0\right),$$ すなわち $\text{チ}=3,\text{ツ}=1,\text{テ}=2$ である。

問4の交点の間では $C'$ は $x$ 軸より下にあるので、面積は曲線の $y$ 座標の符号を反転して積分する。$Y=y+7/4$ とおけば $$\displaystyle \frac{x^2}{1}-\frac{Y^2}{3}=-1.$$ 問題文の媒介変数表示を $a=1,\ b=\sqrt3$ として用いると $$\displaystyle x=\frac12\left(t-\frac1t\right),\qquad y=\frac{\sqrt3}{2}\left(t+\frac1t\right)-\frac74 \quad(t>0).$$ $x=0$ に対応する $t=1$ であり、$y=0$ では $$\displaystyle t+\frac1t=\frac7{2\sqrt3}$$ となるので、右側の交点に対応する値は $r=2/\sqrt3$ である。また $x(t)$ は $t>0$ で増加し、左側の交点は $t=\sqrt3/2$ に対応する。対称性から $$\displaystyle S=-2\int_1^{2/\sqrt3} \left\{\frac{\sqrt3}{2}\left(t+\frac1t\right)-\frac74\right\} \frac12\left(1+\frac1{t^2}\right)\,dt.$$ 被積分関数（符号反転前）の原始関数は $$\displaystyle F(t)=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac{t^2}{2}+2\log t-\frac1{2t^2}\right) -\frac78\left(t-\frac1t\right)$$ である。$F(1)=0$、$\displaystyle F(2/\sqrt3)=-\frac{7\sqrt3}{96}+\frac{\sqrt3}{2}\log(2/\sqrt3)$ より $$\displaystyle S=-2F(2/\sqrt3) =\sqrt3\left(\frac7{48}-\log\frac2{\sqrt3}\right) =\sqrt3\left(\frac7{48}+\log\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ したがって $\text{ト}=3,\text{ナ}=7,\text{ニ}=4,\text{ヌ}=8,\text{ネ}=3,\text{ノ}=2$ である。