5群馬大学 2020年 数学 第5問解答・解説

(1) 楕円 $x^2/A^2+y^2/B^2=1$ に傾き $m$ の接線 $y=mx+n$ を代入し、xについての二次方程式の判別式を 0 とすると $$n^2=A^2m^2+B^2.$$ 従って $C_1$ に接する条件は $n^2=a^2m^2+b^2$、$C_2$ に接する条件は $n^2=b^2m^2+a^2$。$a>b$ より両式を等しくして $m^2=1$。第1象限で接する点における楕円の接線の傾きは負なので $m=-1$。また第1象限の接点を通る直線の切片は正であり、 $$n=\sqrt{a^2+b^2}.$$

(2) $a=\sqrt3,b=1$ では $\ell:y=-x+2$。接点のx座標 $d$ は $$\displaystyle \frac{x^2}{3}+(2-x)^2=1 \text{、すなわち} 4x^2-12x+9=0 \text{、すなわち} x=\frac32,$$ より $d=3/2$。区間 $\sqrt3/2\le x\le3/2$ では $2-x\ge1/2>0$。また $$\displaystyle 1-\frac{x^2}{3}\ge1-\frac{(3/2)^2}{3}=\frac14>0.$$ さらに $$\displaystyle (2-x)^2-\left(1-\frac{x^2}{3}\right)=\frac{(2x-3)^2}{3}\ge0.$$ 両辺の非負性と合わせると、この区間では直線 $y=2-x$ が楕円 $C_1$ の上半分 $y=\sqrt{1-x^2/3}$ 以上にある。したがって求める面積は $$\displaystyle S=\int_{\sqrt3/2}^{3/2}\left(2-x-\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}\right)dx.$$ 直線部分の積分は $$\displaystyle \int_{\sqrt3/2}^{3/2}(2-x)dx=\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{\sqrt3/2}^{3/2}=\frac94-\sqrt3.$$ 楕円弧部分は $x=\sqrt3\sin\theta$ と置くと、端点は $\theta=\pi/6,\pi/3$ となり、 $\displaystyle \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$ を用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\sqrt3/2}^{3/2}\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}dx &=\sqrt3\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta\\ &=\sqrt3\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/3} =\frac{\pi\sqrt3}{12}. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \boxed{S=\frac94-\sqrt3-\frac{\pi\sqrt3}{12}}.$$