2群馬大学 2020年 数学 第2問解答・解説

二項定理で偶数番目と奇数番目の項を分けると $$\displaystyle \begin{aligned} (3+2\sqrt2)^n &=\sum\limits _{k=0}^n\binom nk3^{n-k}(2\sqrt2)^k\\ &=\sum\limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2j}3^{n-2j}8^j +\sqrt2\left(2\sum\limits _{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\binom n{2j+1}3^{n-2j-1}8^j\right). \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2j}3^{n-2j}8^j,\qquad b_n=2\sum\limits _{j=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\binom n{2j+1}3^{n-2j-1}8^j,$$ であり、いずれも整数である。また奇数番目の項の符号を反転した二項展開より $$(3-2\sqrt2)^n=a_n-\sqrt2b_n.$$ よって $$a_n^2-2b_n^2=(a_n+\sqrt2b_n)(a_n-\sqrt2b_n) =\bigl((3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)\bigr)^n=1,$$ となり (1) が示された。 この等式と元の定義を加え、また引くと $$\displaystyle a_n=\frac{(3+2\sqrt2)^n+(3-2\sqrt2)^n}{2},\qquad b_n=\frac{(3+2\sqrt2)^n-(3-2\sqrt2)^n}{2\sqrt2},$$ を得る。これが (2) の閉じた一般項であり、上の有限和表示も同じ一般項である。 さらに $$\displaystyle q_n=\left(\frac{3-2\sqrt2}{3+2\sqrt2}\right)^n=(3-2\sqrt2)^{2n}$$ とおく。$3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2$ は $0$ と $1$ の間にあるので、$q_n\to0$。従って $$\displaystyle \frac{a_n}{b_n} =\sqrt2\,\frac{1+q_n}{1-q_n}\longrightarrow\sqrt2,$$ となり (3) の極限は $\sqrt2$ である。