1東邦大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $P(x)=Q(x)(x-1)^3-2x^2+x$ と書ける。第一項は $(x-1)^2$ で割り切れるから、求める余りは $-2x^2+x$ を $(x-1)^2$ で割った余りである。 $$-2x^2+x=-2(x-1)^2-3x+2.$$ したがって余りは $-3x+2$ である。

(2) 底辺を6とすると、二等辺三角形の高さは $$\sqrt{5^2-3^2}=4.$$ よって面積は $\displaystyle \frac12\cdot6\cdot4=12$、半周長は $\displaystyle \frac{5+5+6}{2}=8$ である。内接円の半径を $r$ とすると三角形の面積は $8r$ だから、$r=12/8=3/2$ である。

(3) $\log$ を自然対数とする。曲線上の点を $(x,\log x)$（$x>0$）とすると、直線 $y=x+2$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|x-\log x+2|}{\sqrt2}.$$ $g(x)=x-\log x+2$ とおくと、$g'(x)=1-1/x$ なので、$0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。したがって最小値は $g(1)=3$ であり、求める距離は $3/\sqrt2=3\sqrt2/2$ である。

(4) 固定される位置を5箇所から2箇所選ぶ方法は $\displaystyle \binom52=10$ 通りである。残る3枚が残る3位置のいずれにも固定されない並べ方は、3枚の巡回置換の2通りである。よって求める並べ方は $10\cdot2=20$ 通りである。

(5) $S=A+B$、$T=A-B$ とおくと、$A=(S+T)/2$、$B=(S-T)/2$ である。積の順序を保って展開すると $$\displaystyle A^2-B^2=\frac14\{(S+T)^2-(S-T)^2\}=\frac12(ST+TS).$$ 与えられた行列から $$ST=\begin{pmatrix}1&5\\1&2\end{pmatrix},\qquad TS=\begin{pmatrix}3&3\\1&0\end{pmatrix}$$ となるので、 $$A^2-B^2=\begin{pmatrix}2&4\\1&1\end{pmatrix}.$$

(6) 方程式の実数解は $x\ge0$ を満たす。また $x+3>0$ なので、その解に対応する $k$ は $$\displaystyle k=\frac{\sqrt{x}-1}{x+3}$$ と表せる。ここで $$\displaystyle k+\frac13=\frac{x+3\sqrt{x}}{3(x+3)}\ge0.$$ したがって $k\ge-1/3$。等号は $x=0$ で成立し、このとき元の方程式も $3k+1=0=\sqrt0$ を満たす。ゆえに最小値は $-1/3$ である。

(7) $\vec u=\vec a+2\vec b$、$\vec v=-3\vec a+\vec b$ とおくと、$|\vec u|=|\vec v|=1$ である。連立式を解くと $$\displaystyle \vec a=\frac{\vec u-2\vec v}{7},\qquad \vec b=\frac{3\vec u+\vec v}{7},\qquad \vec a+\vec b=\frac{4\vec u-\vec v}{7}.$$ 三角不等式より $|\vec a+\vec b|\le(4|\vec u|+|\vec v|)/7=5/7$。$\vec v=-\vec u$ とすれば等号が成立し、元の条件も満たすから、最大値は $5/7$ である。

(8) $P=(t,t^2)$（$t>0$）、円の中心を $(c,0)$ とする。放物線の接線方向ベクトルは $(1,2t)$、半径方向ベクトルは $(t-c,t^2)$ なので、接線が共通であることから $$t-c+2t^3=0,\qquad c=t+2t^3.$$ 半径が6であるため $$(t-c)^2+t^4=36\quad\text{より}\quad4t^6+t^4=36.$$ $u=t^2>0$ とおけば $4u^3+u^2-36=0$、すなわち $$(u-2)(4u^2+9u+18)=0.$$ 第二因子は正だから $u=2$、よって $t=\sqrt2$ である。したがって中心の座標は $c=\sqrt2+2(\sqrt2)^3=5\sqrt2$ である。

(9) $d_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと、漸化式から $$d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=5(a_{n+1}-a_n)=5d_n,\qquad d_1=2.$$ よって $d_n=2\cdot5^{n-1}$ であり、 $$\displaystyle a_n=1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}2\cdot5^{j-1}=1+\frac{5^{n-1}-1}{2}=\frac{5^{n-1}+1}{2}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{5^{n-1}+1}{5^n+1}\longrightarrow\frac15.$$

(10) 角の二等分線の定理より $BD:DC=AB:AC=2:1$ なので、$BD=2\sqrt6/3$、$DC=\sqrt6/3$ である。余弦定理から $$\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=-\frac14,$$ よって $\cos(A/2)=\sqrt{(1+\cos A)/2}=\sqrt6/4$。余弦定理を三角形 $ABD$、$ACD$ に用いて差をとると $$BD^2-DC^2=AB^2-AC^2-2AD\cos(A/2)(AB-AC).$$ 左辺は $8/3-2/3=2$、また $AB^2-AC^2=3$、$AB-AC=1$ なので、$2=3-2AD\cos(A/2)$。従って $AD\cos(A/2)=1/2$ であり、 $$\displaystyle AD=\frac{1/2}{\sqrt6/4}=\frac2{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{3}.$$ 検算として、各結果は指定形式に対応し、特に(8)では中心から $P$ までの距離の二乗が $(4\sqrt2)^2+2^2=36$、(10)では $AD^2=2/3$ となる。