1日本大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) 方程式 $x^{2}-2mx+5m+6=0$ の2解が負で異なるための条件を調べる。解の和は $2m$、積は $5m+6$ なので、2解が負であるには $2m<0$ かつ $5m+6>0$ が必要である。また判別式は $D=4m^{2}-4(5m+6)=4(m-6)(m+1)$ であり、異なる実数解となる条件は $D>0$ である。したがって $\displaystyle m<0,\ m>-\frac65,\ (m-6)(m+1)>0$ を同時に満たす必要があり、最後の不等式から $m<-1$ または $m>6$ だから、求める範囲は $\displaystyle -\frac65<m<-1$ である。この範囲では和が負、積が正、判別式が正なので、条件も十分に満たす。

(2) 平行移動後の放物線上の点 $(x,y)$ を移動前の座標に戻すと $\displaystyle (x-\frac12,y+\frac12)$ である。よって放物線の式は $\displaystyle y+\frac12=(x-\frac12)^2-(x-\frac12)+2$、すなわち $\displaystyle y=x^2-2x+\frac94$ となる。直線 $y=x$ との共有点では $\displaystyle x=x^2-2x+\frac94$ より $\displaystyle (x-\frac32)^2=0$ だから、共有点は $\displaystyle (\frac32,\frac32)$ である。

(3) 4個の取り出し方は全部で $\displaystyle \binom94$ 通りである。赤玉2個、白玉2個となる取り出し方は $\displaystyle \binom52\binom42$ 通りなので、確率は $\displaystyle \frac{\binom52\binom42}{\binom94}=\frac{10\cdot6}{126}=\frac{10}{21}$ である。

(4) 線分 $AB$ の中点は $\displaystyle (-\frac12,\frac72)$、傾きは $\displaystyle \frac13$ なので、その垂直二等分線 $l$ は傾き $-3$ をもち、$\displaystyle y-\frac72=-3(x+\frac12)$、すなわち $y=-3x+2$ である。線分 $BC$ の中点は $(3,5)$、傾きは $\displaystyle \frac12$ なので、その垂直二等分線 $m$ は $y-5=-2(x-3)$、すなわち $y=-2x+11$ である。両式を連立すると $x=-9,\ y=29$ を得る。検算として、点 $(-9,29)$ から $A,B,C$ までの距離の2乗はいずれも $725$ であり、求めた点は3頂点から等距離にある。

(5) 漸化式から $a_n>0$ がすべての $n$ で成り立つ。そこで $\displaystyle b_n=\frac1{a_n}$ とおくと、$b_1=1$ であり、$\displaystyle b_{n+1}=\frac{3a_n+1}{2a_n}=\frac32+\frac12b_n$ となる。したがって $\displaystyle b_{n+1}-3=\frac12(b_n-3)$ であるから、$\displaystyle b_n-3=(b_1-3)(\frac12)^{n-1}=-2(\frac12)^{n-1}$、すなわち $b_n=3-2^{2-n}$ である。よって $\displaystyle a_n=\frac1{b_n}=\frac{2^{n-1}}{3\cdot2^{n-1}-2}$ となる。$n=1$ を代入すると $a_1=1$ であり、漸化式から得られる $\displaystyle a_2=\frac12$ もこの式と一致する。

(6) 常用対数をとると $\displaystyle \log_{10}( (\frac16)^{150})=-150(\log_{10}2+\log_{10}3)=-150(0.3010+0.4771)=-116.715$ である。したがって $\displaystyle 10^{-117}< (\frac16)^{150}<10^{-116}$ となる。よって小数表示では小数第117位の桁に初めて0でない数字が現れる。

(7) 内分比より $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac23\overrightarrow{OA}$、$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac35\overrightarrow{OB}$ なので、$\displaystyle C=(\frac83,-2)$、$\displaystyle D=(\frac65,3)$ である。交点 $E$ を $E=B+s(C-B)=A+t(D-A)$ と表すと、$\displaystyle C-B=(\frac23,-7)$、$\displaystyle D-A=(-\frac{14}{5},6)$ から $\displaystyle \frac23s+\frac{14}{5}t=2$、$7s+6t=8$ を得る。これを解くと $\displaystyle s=\frac23,\ t=\frac59$ であるから、$\displaystyle E=B+\frac23(C-B)=(\frac{22}{9},\frac13)$ となる。したがって $\displaystyle \overrightarrow{OE}=(\frac{22}{9},\frac13)$ である。なお $0\le s,t\le1$ なので、この点は線分 $BC$ と線分 $AD$ の双方上にある。

(8) $\displaystyle \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A\binom{x_n}{y_n}$ から $x_{n+1}=x_n-2y_n$、$y_{n+1}=2x_n+y_n$ である。従って $x_{n+1}^2+y_{n+1}^2=(x_n-2y_n)^2+(2x_n+y_n)^2=5(x_n^2+y_n^2)$ となる。$n=0$ では $(x_0,y_0)=(1,1)$ なので $x_0^2+y_0^2=2$ であり、これを $n$ 回用いて $x_n^2+y_n^2=2\cdot5^n$ を得る。