2日本大学 2014年 数学 第2問解答・解説

円 $C$ の中心を $Q=(1,1)$ とおく。与えられた直線は $Q$ を通り、$Q$ から $(1-\sqrt3,0)$ への方向ベクトルは $(-\sqrt3,-1)$ である。したがって $x>1$ の交点は $Q$ から反対向きに距離1だけ進んだ点であり、$\displaystyle A=(1+\frac{\sqrt3}{2},\frac32)$ となる。

(1) 半径 $QA$ の傾きは $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$ であり、接線 $l$ はこれに垂直なので傾きは $-\sqrt3$ である。点 $A$ を通るから $\displaystyle y-\frac32=-\sqrt3(x-1-\frac{\sqrt3}{2})$、すなわち $l:\sqrt3x+y-\sqrt3-3=0$ である。

(2) 円 $C$ の $x$ 軸との接点を $T=(1,0)$、$l$ と $x$ 軸との交点を $P=(1+\sqrt3,0)$ とする。図の斜線部分は三角形 $PTA$ から、弧 $TA$ と弦 $TA$ で囲まれる円弧部分を除いたものである。三角形 $PTA$ の面積は $\displaystyle \frac12\cdot\sqrt3\cdot\frac32=\frac{3\sqrt3}{4}$ である。中心角 $TQA$ は $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ なので扇形 $TQA$ の面積は $\displaystyle \frac12\cdot1^2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$、三角形 $TQA$ の面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}$ である。よって円弧部分の面積は $\displaystyle \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}$ であり、求める面積は $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{4}-(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4})=\sqrt3-\frac{\pi}{3}$ となる。

(3) 直線 $l$ と $x$ 軸の交点は $P=(1+\sqrt3,0)$ であり、図の円 $C$ が入る角の大きさは $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ である。両直線に接する円の中心はその角の二等分線上にある。半径を $r$ とすると、頂点 $P$ から中心までの距離 $d$ は、角の半分 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ をもつ直角三角形から $\displaystyle r=d\sin\frac{\pi}{6}$、すなわち $d=2r$ である。円 $C$ の半径は1で、半径の小さい外接円の中心は同じ二等分線上で $P$ と円 $C$ の中心の間にある。したがって隣り合う半径を $r_n>r_{n+1}$ とすると、中心間距離は $2(r_n-r_{n+1})$ である。一方、外接条件からそれは $r_n+r_{n+1}$ に等しい。よって $2(r_n-r_{n+1})=r_n+r_{n+1}$、すなわち $\displaystyle r_{n+1}=\frac13r_n$ である。最初の円 $C_1$ は元の半径1の円に外接するから $\displaystyle r_1=\frac13$、従って $\displaystyle r_n=\frac1{3^n}$、$\displaystyle S_n=\frac{\pi}{9^n}$ である。公比 $\displaystyle \frac19$ の無限等比級数より $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\pi\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac19\right)^n=\pi\frac{\frac19}{1-\frac19}=\frac{\pi}{8}$ となる。