I順天堂大学 2013年 数学 第I問解答・解説

(1) $\{a_n\}$ の公比を $p$、$\{b_n\}$ の公比を $q$、共通の初項を $u$ とする。収束条件から $|p|<1,|q|<1$ であり、無限等比級数の和より $$\displaystyle \frac{u}{1-p}=6,\qquad \frac{u}{1-q}=4.$$ また $b_n/a_n=(q/p)^{n-1}$ だから $$\displaystyle \frac{1}{1-q/p}=3,\qquad \frac qp=\frac23.$$ 従って $u=6(1-p)=4(1-q)$ と $\displaystyle q=\dfrac23p$ を用いると $$\displaystyle 6-6p=4-\frac83p,\qquad p=\frac35,\quad q=\frac25, \quad u=6\left(1-\frac35\right)=\frac{12}{5}.$$ よって $\text{アイ}=12,\ \text{ウ}=5,\ \text{エ}=3,\ \text{オ}=5,\ \text{カ}=2,\ \text{キ}=5$ である。

(2) 連分数の後ろの部分は全体と同じ値 $y$ なので $$\displaystyle y=\frac{1}{2+y},\qquad y^2+2y-1=0.$$ 連分数の値は正だから、$y=-1+\sqrt2$ である。従って $a=1,b=2,c=-1$、また $$\displaystyle x=\frac{2}{1+y}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.$$ よって $\text{ア}=1,\ \text{イ}=2,\ \text{ウエ}=-1,\ \text{オカ}=-1,\ \text{キ}=2,\ \text{ク}=2$ である。

(3) $\log_e(2^x)=x\log_e2$ を用いて両辺を $\log_e2$ で割ると $$\displaystyle x^2-(\log_2 6)x+\log_2\frac94=0.$$ $t=\log_2 3$ とおけば、$\log_2 6=t+1$、$\log_2(9/4)=2t-2$ であるから $$x^2-(t+1)x+2t-2=(x-2)(x-(t-1))=0.$$ 二つの根は $2$ と $\log_2(3/2)$ である。原本の解答欄では $2^\alpha$ は単一の整数欄（ア）、$2^\beta$ は分数欄（イ・ウ）である。欄の形式に対応させると $\alpha=2,\ \beta=\log_2(3/2)$ となり、$2^\alpha=4,\ 2^\beta=3/2$ である。よってアは4、イは3、ウは2である.

(4) 移動全体を $\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+(p,q)^{\mathsf T}$ とする。与えられた3点の対応より $$A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix},$$ $$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}.$$ 最後の式から最初の二式の和を引くと $(p,q)=(2,2)$。従って $A$ の第1列は $(5,6)-(2,2)=(3,4)$、第2列は $(6,-1)-(2,2)=(4,-3)$ である。よって $$A=\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix},\qquad p=2,\quad q=2.$$

(5) 正五角形の一辺は2、対角線の長さを $d=BE=CF=CE$ とする。問題文の相似 $\triangle BCF\sim\triangle GFB$ で、対応を $B\leftrightarrow G,C\leftrightarrow F,F\leftrightarrow B$ とすると、$BC=BF=2$ より $GB=GF$ であり、相似比から $$\displaystyle \frac d2=\frac{BF}{GB}=\frac2{BG},\qquad BG=\frac4d.$$ 正五角形の対称性により $GE=GC$。また $\angle EGC$ は $\angle BGF$ と対頂角であり、相似から $\angle BGF=\angle CBF=108^\circ$。三角形 $EGC$ と $BCF$ はともに頂角が $108^\circ$ の二等辺三角形で、底辺 $EC=CF=d$ も等しいので合同である。従って $GE=BC=2$。よって $$\displaystyle d=BE=BG+GE=\frac4d+2, \quad d^2-2d-4=0, \quad d=1+\sqrt5, \quad BG=d-2=\sqrt5-1.$$ ここから $\text{ア}=1,\ \text{イ}=5,\ \text{ウエ}=-1,\ \text{オ}=5$ である。

正五角形の内角は $108^\circ$ であるから、三角形 $BCF$ に余弦定理を用いると $$d^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cos108^\circ =8+8\cos72^\circ.$$ $d=1+\sqrt5$ より $$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{5}=\cos72^\circ=\frac{d^2-8}{8}=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$ 従って $\text{カキ}=-1,\ \text{ク}=5,\ \text{ケ}=4$ である。

底面の中心をOとする。側辺がすべて2で、$AO$ は底面に垂直なので $O$ は正五角形の外心である。中心角は $2\pi/5$ であり、三角形 $OBC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle 4=2OB^2\left(1-\cos\frac{2\pi}{5}\right), \qquad OB^2=\frac{2}{1-(\sqrt5-1)/4}=\frac{10+2\sqrt5}{5}.$$ 直角三角形 $AOB$ で $AB=2$ だから $$\displaystyle OA^2=AB^2-OB^2=4-\frac{10+2\sqrt5}{5}=\frac{10-2\sqrt5}{5}.$$ 最後に $BD$ も正五角形の対角線なので $BD=d$。内積と余弦定理の関係から $$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} =\frac{AB^2+AD^2-BD^2}{2} =\frac{8-(1+\sqrt5)^2}{2}=1-\sqrt5.$$ 従って $\text{コ}=2,\ \text{サ}=5,\ \text{シス}=10,\ \text{セ}=5,\ \text{ソタ}=-2,\ \text{チ}=5,\ \text{ツテ}=10,\ \text{ト}=5,\ \text{ナ}=1,\ \text{ニ}=5$ である。

検算として、(1)では $u/(1-p)=6$、$u/(1-q)=4$、$1/(1-q/p)=3$ に戻る。(2)の $y=\sqrt2-1$ は $y(2+y)=1$ を満たす。(4)では求めた行列と平行移動を代入すると3点の像がそれぞれ $(5,6),(6,-1),(9,3)$ になる。(5)では $d=1+\sqrt5>0$ が二次方程式を満たし、$OB^2+OA^2=4=AB^2$ である。