2日本大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=x-2,\ v=y-1$ とおくと $u^2+v^2=1$ であり, 求める式は $\displaystyle 1-\sqrt2+v-\frac{u}{\sqrt2}$ となる。$u=\cos\theta,\ v=\sin\theta$ と表せば, $\displaystyle v-\frac{u}{\sqrt2}=\sin\theta-\frac{1}{\sqrt2}\cos\theta$ の最大値は三角関数の合成により $\displaystyle \sqrt{1+\frac12}=\frac{\sqrt6}{2}$。したがって最大値は $\displaystyle 1-\sqrt2+\frac{\sqrt6}{2}$。

(2) $t=2^x$ とおくと $t>0$ であり, 方程式は $t^2+t^{-2}-8t+8t^{-1}+14=0$。ここで $r=t-t^{-1}$ とすると $t^2+t^{-2}=r^2+2$ なので, 方程式は $r^2-8r+16=0$, すなわち $r=4$ となる。よって $t-t^{-1}=4$, すなわち $t^2-4t-1=0$。$t>0$ より $t=2+\sqrt5$ であるから $x=\log_2(2+\sqrt5)$。

(3) $OA=\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=4$, $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。$OC$ は $\angle AOB$ の二等分線なので, 角の二等分線の定理から $AC:CB=OA:OB=4:5$。従って $\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{5\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}}9$。垂線の足の条件 $(\overrightarrow{OC}-k\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OA}=0$ より $\displaystyle k=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}}{OA^2}$。ここで $OA^2=16$, $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=6\sqrt3+8$ だから $\displaystyle k=\frac{5\cdot16+4(6\sqrt3+8)}{9\cdot16}=\frac79+\frac{\sqrt3}{6}$。

(4) $\displaystyle a_1=\frac13>0$ で, 正の $a_n$ に対して $\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n}{8a_n+3}>0$ だから, 逆数 $b_n$ は常に定義される。漸化式を逆数で表すと $\displaystyle b_{n+1}=\frac{8a_n+3}{7a_n}=\frac87+\frac37b_n$, また $b_1=3$。従って $\displaystyle b_{n+1}-2=\frac37(b_n-2)$ であり, $b_1-2=1$ だから $\displaystyle b_n-2=\left(\frac37\right)^{n-1}$。ゆえに $\displaystyle b_n=2+\left(\frac37\right)^{n-1}$。