1北里大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1)(i)　 点 $D$ を基準にすると $$\overrightarrow{DA}=(1,0,0),\qquad \overrightarrow{DB}=(0,3,0)$$ である。内積は $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0$ だから、両ベクトルは垂直である。したがって $$\theta=90^\circ.$$

(1)(ii)　 三角形 $DAB$ は $D$ を直角とする三角形であり、その面積は $$\displaystyle \frac12\cdot DA\cdot DB=\frac12\cdot1\cdot3=\frac32$$ である。$A,B,D$ はいずれも $z=3$ 上にあり、点 $C$ の $z$ 座標は $5$ なので、点 $C$ から平面 $DAB$ までの距離は $2$ である。よって四面体の体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac32\cdot2=1.$$

(2)　 対数の真数を $X=(a+1)(a-5)$ とおく。定義域は $X>0$、すなわち $a<-1$ または $a>5$ である。

まず、$x=2$ が解である条件を代入すると $$4-4\log_2 X+4=0,\qquad \log_2 X=2,\qquad X=4.$$ したがって $$a^2-4a-5=4,\qquad (a-2)^2=13,$$ より $a=2\pm\sqrt{13}$ である。$\sqrt{13}>3$ だから、これらはそれぞれ $a<-1$、$a>5$ を満たす。

次に $L=\log_2X$ とおくと、与式の判別式は $$\Delta=(-2L)^2-4\cdot1\cdot4=4(L^2-4)$$ である。実数解をもたない条件は $\Delta<0$、すなわち $-2<L<2$ である。底 $2$ の対数関数は増加するから、これは $$\displaystyle \frac14<X<4$$ と同値である。$X=(a-2)^2-9$ を用いると $$\displaystyle \frac{37}{4}<(a-2)^2<13,$$ したがって $$\displaystyle \frac{\sqrt{37}}2<|a-2|<\sqrt{13}.$$ ゆえに求める範囲は $$\displaystyle 2-\sqrt{13}<a<2-\frac{\sqrt{37}}2 \quad\text{または}\quad 2+\frac{\sqrt{37}}2<a<2+\sqrt{13}.$$ この範囲は対数の定義域も満たす。

(3)　 不等式の最後の部分から $$\displaystyle y\geq\frac34(2x+2)=\frac32x+\frac32$$ を得る。領域が存在するには、この直線と放物線の両方が上側の境界 $y=2x+2$ 以下でなければならない。条件はそれぞれ $$\displaystyle \frac32x+\frac32\leq2x+2\quad\text{すなわち}\quad x\geq-1, \qquad x^2+2x\leq2x+2\quad\text{すなわち}\quad x^2\leq2$$ である。したがって $-1\leq x\leq\sqrt2$ である。また、二つの下側境界の差は $$\displaystyle (x^2+2x)-\left(\frac32x+\frac32\right) =(x+\tfrac32)(x-1)$$ だから、$-1\leq x\leq1$ では直線が下側、$1\leq x\leq\sqrt2$ では放物線が下側となる。よって面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{1}\left\{(2x+2)-\left(\frac32x+\frac32\right)\right\}\,dx +\int_{1}^{\sqrt2}\left\{(2x+2)-(x^2+2x)\right\}\,dx &=1+\left[2x-\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{\sqrt2}\\ &=\frac{4\sqrt2-2}{3}. \end{aligned}$$

領域内では $y\leq2x+2$ かつ $x\leq\sqrt2$ なので $$5x-3y\geq5x-3(2x+2)=-x-6\geq-\sqrt2-6.$$ $x=\sqrt2$ では下側の放物線と上側の直線が一致し、$y=2+2\sqrt2$ となる。この点で等号が成立するから、$5x-3y$ が最小となる点は $$(\sqrt2,\,2+2\sqrt2)$$ である。

(4)　 最後の一歩が $1,2,3$ 段のいずれであるかで場合分けする。$a_0=1$（動かない登り方が一通り）とすれば $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}\quad(n\geq3),$$ ただし負の添字の項は $0$ とする。したがって $$\begin{array}{c|rrrrrrrrrrr} n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline a_n&1&1&2&4&7&13&24&44&81&149&274 \end{array}$$ となり、$a_3=4,\ a_4=7,\ a_{10}=274$ である。

(5)(i)　 点 $P$ の $x$ 座標は $\displaystyle \frac\pi2+t$、$y$ 座標は $\cos t$ である。曲線の接線の傾きは $\displaystyle \cos(\frac\pi2+t)=-\sin t$ だから、法線 $l$ の傾きは $1/\sin t$ である。よって $$\displaystyle l:\quad y=\cos t+\frac{x-(\frac\pi2+t)}{\sin t}.$$ 直線 $m$ 上では $\displaystyle x=\frac\pi2$ なので $$\displaystyle Q=\left(\frac\pi2,\,\cos t-\frac{t}{\sin t}\right).$$ $\displaystyle t=\frac\pi3$ とすると $$\displaystyle Q=\left(\frac\pi2,\,\frac12-\frac{2\pi}{3\sqrt3}\right).$$

(5)(ii)　 $\displaystyle u=x-\frac\pi2$ とおくと、$m$ から $P$ までの範囲は $0\leq u\leq t$ であり、曲線は $y=\cos u$、法線は $$\displaystyle y=\cos t+\frac{u-t}{\sin t}$$ と表される。差 $\displaystyle g(u)=\cos u-\cos t-\frac{u-t}{\sin t}$ は $g(t)=0$ かつ $$\displaystyle g'(u)=-\sin u-\frac1{\sin t}<0$$ なので、$0\leq u<t$ では曲線が法線より上にある。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=\int_0^t\left(\cos u-\cos t-\frac{u-t}{\sin t}\right)du\\ &=\sin t-t\cos t+\frac{t^2}{2\sin t}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \sin t-t\cos t=\int_0^t u\sin u\,du$ であり、$0\leq\sin u\leq u$ より $$\displaystyle 0\leq\frac{\sin t-t\cos t}{t}\leq\frac{t^2}{3}\longrightarrow0.$$ また $\displaystyle \lim\limits _{t\to+0}\frac{t}{\sin t}=1$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{t\to+0}\frac{S(t)}t=0+\frac12=\frac12.$$