I愛知医科大学 2021年 数学 第I問解答・解説

1) 根号の中が非負であるため、定義域は $\displaystyle x\geq \frac{7}{3}$ である。方程式を $$\sqrt{3x-7}=2+\sqrt{x-1}$$ と変形して両辺を2乗すると、 $$3x-7=x+3+4\sqrt{x-1},\qquad x-5=2\sqrt{x-1}.$$ 右辺は0以上なので $x\geq 5$ である。この条件のもとで再び2乗すると $$x^2-14x+29=0,$$ したがって $x=7\pm2\sqrt5$ である。$x\geq5$ を満たすのは $x=7+2\sqrt5$ だけである。この値では $\sqrt{3x-7}=3+\sqrt5$、$\sqrt{x-1}=1+\sqrt5$ となり、元の式を満たす。

2)(a) 優勝チームが決まると試合は終了するので、「ここからあと3試合行って」は、その3試合が実際に行われ、3試合目にAが優勝する場合を数える。既にAが1勝しているから、次をAが勝てば1試合目で終了する。3試合目まで決着せず、その試合にAが2連勝を完成させる勝敗の並びは、順にB、A、Aだけである。よって求める確率は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac23\cdot\frac23=\frac4{27}.$$

2)(b) 直前の勝者がAでまだ優勝が決まっていない状態からのAの最終優勝確率を $u$、直前の勝者がBでまだ優勝が決まっていない状態からの確率を $v$ とする。次の試合の勝者で場合分けすると $$\displaystyle u=\frac23+\frac13v,\qquad v=\frac23u.$$ よって $\displaystyle u=\frac23+\frac29u$ から $\displaystyle u=\frac67$ を得る。

3)(a) 対称移動から $B=(1,-3,-2)$、$C=(-1,3,2)$ である。$\overrightarrow{AB}=(0,-6,-4)$、$\overrightarrow{AC}=(-2,0,0)$ は内積が0であり、長さはそれぞれ $2\sqrt{13}$、2である。したがって $$\displaystyle \triangle ABC=\frac12\cdot2\sqrt{13}\cdot2=2\sqrt{13}.$$

3)(b) 平面 $ABC$ は3点の座標から $2y-3z=0$ と表せる。点 $D=(-1,3,-1)$ とこの平面との距離は $$\displaystyle \frac{|2\cdot3-3\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac9{\sqrt{13}}.$$ よって四面体の体積は $$\displaystyle \frac13\cdot2\sqrt{13}\cdot\frac9{\sqrt{13}}=6.$$

4)(a) 楕円の式を $x$ で微分すると、点 $P(p,q)$ における接線の傾きは $\displaystyle -\frac{p}{2q}$ である。第二象限なので $p\neq0$、$q\neq0$ であり、法線の傾きは $\displaystyle \frac{2q}{p}$ となる。したがって法線は $$\displaystyle y-q=\frac{2q}{p}(x-p),\qquad 2qx-py=pq.$$

4)(b) $P_0=(-1,2)$ は楕円上にあり、点 $X=(-2,6)$ との距離の2乗は17である。楕円上の任意の点を $Q=(x,y)$ とする。$x^2+2y^2=9$ より $$81-(-x+4y)^2=9(x^2+2y^2)-(-x+4y)^2=2(2x+y)^2\geq0,$$ したがって $-x+4y\leq9$ である。ここで $X-P_0=(-1,4)$ なので $$(X-P_0)\cdot(Q-P_0)=-(x+1)+4(y-2)=-x+4y-9\leq0.$$ ゆえに $$|X-Q|^2=|X-P_0|^2+|Q-P_0|^2-2(X-P_0)\cdot(Q-P_0)\geq17.$$ 等号は $Q=P_0$ のときに成立する。したがって求める点は $(-1,2)$ である。