1金沢医科大学 2024年 1日目 数学 第1問解答・解説

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3個のさいころの出目は独立で、全 $6^3=216$ 通りが同様に確からしい。 $$\displaystyle P=(a,0),\quad Q=(b\cos\theta,b\sin\theta),\quad \theta=\frac{c\pi}{6}.$$ $a,b$ は正なので、三角形 $OPQ$ が存在するのは $\sin\theta\ne0$、すなわち $c=1,2,3,4,5$ のときである。 このとき $$\displaystyle S=\frac12 ab\sin\theta.$$

・ $ab\le36$、また $c=1,\ldots,5$ では $\sin(c\pi/6)\le1$ なので最大値は $a=b=6,c=3$ の $S=18$。最小値は $a=b=1,c=1$ または $5$ の $S=1/4$ である。

・ 正三角形なら $OP=OQ$ より $a=b$。さらに余弦定理から $$PQ^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta=a^2$$ なので $\cos\theta=1/2$、従って $c=2$。 このとき $a=b$ なら確かに3辺は等しい。該当する出目は $(a,b)=(1,1),\ldots,(6,6)$ の6通りだから確率は $6/216=1/36$。

・ 直角が $O$ にあるのは $c=3$ のときで、$a,b$ は任意、 36通りである。直角が $P$ にある条件は $$\overrightarrow{PO}\cdot\overrightarrow{PQ}=0 \quad\text{すなわち}\quad a=b\cos\theta.$$ 直角が $Q$ にある条件は同様に $b=a\cos\theta$。 正の整数 $a,b$ では $\cos\theta>0$ が必要で、$c=1,2$ だけを 調べればよい。$c=1$ の $\cos\theta=\sqrt3/2$ は無理数なので 整数比 $a/b$ にはならない。$c=2$ では $\cos\theta=1/2$ であり、 直角が $P$ の場合は $b=2a$ の3通り、$Q$ の場合は $a=2b$ の3通り。合計は $36+3+3=42$ 通りで、確率は $42/216=7/36$。

・ $c=1,5$ なら $S=ab/4$ なので $4\mid ab$ が必要十分。 $a=1,2,3,4,5,6$ の順に条件を満たす $b$ の個数は $1,3,1,6,1,3$、合計15通りである。従って $c=1,5$ から30通り。 $c=2,4$ では $S=ab\sqrt3/4$ は整数にならない。 $c=3$ では $S=ab/2$ なので $ab$ が偶数であることが必要十分。 これは $36-3\cdot3=27$ 通り。合計57通りだから確率は $57/216=19/72$。

・ 距離の二乗は $$PQ^2=a^2+b^2-2ab\cos(c\pi/6).$$ $c=1,2,3$ では余弦が非負なので $PQ^2\le a^2+b^2\le72<81$、該当しない。 $c=4$ では条件は $a^2+b^2+ab\ge81$ で、該当する順序対は $(5,6),(6,5),(6,6)$ の3通り。 $c=5$ では条件は $a^2+b^2+\sqrt3ab\ge81$ で、該当する順序対は $(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)$ の6通り （左辺は $a,b$ それぞれについて増加するため、各行の閾値を調べればよい）。 従って全体で9通り、確率は $9/216=1/24$。

以上より $$\displaystyle \boxed{18,\quad \frac14,\quad \frac1{36},\quad \frac7{36},\quad \frac{19}{72},\quad \frac1{24}}$$ であり、空欄は $$\boxed{\text{アイ}=18,\ \text{ウ}=1,\ \text{エ}=4,\ \text{オ}=1,\ \text{カキ}=36,\ \text{ク}=7,\ \text{ケコ}=36,\ \text{サシ}=19,\ \text{スセ}=72,\ \text{ソ}=1,\ \text{タチ}=24}.$$