1大分大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 判別式は $D=(2b)^2-4c=4(b^2-c)$ である。異なる2つの実数解を持たない条件は $D\le 0$、すなわち $c\ge b^2$ である。解と係数の関係より $\alpha+\beta=-2b,\ \alpha\beta=c$ だから、 $$\alpha+\beta+\alpha\beta=c-2b\ge b^2-2b=(b-1)^2-1\ge -1.$$ ここで $b=1, c=1$ とすると方程式は $(x+1)^2=0$ となり、条件を満たして等号が成り立つ。したがって最小値は $-1$ である。

(2) $\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$ が有理数であると仮定すると、$\displaystyle \sqrt{2}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{3}$ も有理数となる。そこで $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{m}{n}$（$m,n$ は互いに素な正の整数）とおくと、$m^2=2n^2$ である。よって $m^2$ は偶数なので $m$ は偶数であり、$m=2k$ とおける。これを代入すると $n^2=2k^2$ となるから $n$ も偶数である。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。したがって $\sqrt{2}$ は無理数であり、仮定に矛盾するので $\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$ は無理数である。

(3) 3回のうち表が出る回数を $h$、表のときに進むサイコロの目の合計を $S$ とする。裏の回は毎回 $-2$ 進むので、原点に戻る条件は $S-2(3-h)=0$、すなわち $S=2(3-h)$ である。

・ $h=0$ では移動量は $-6$ であり、原点に戻らない。

・ $h=1$ では表の回の目が $4$ であればよい。表の位置は $\displaystyle \binom{3}{1}=3$ 通りあり、残る2回のサイコロの目はそれぞれ6通りだから、有利な結果は $3\cdot 1\cdot 6^2=108$ 通りである。

・ $h=2$ では表の回の目の合計が $2$ でなければならないので、2つの目はともに $1$ である。表の位置は $\displaystyle \binom{3}{2}=3$ 通りで、裏の回のサイコロの目は6通りだから、有利な結果は $3\cdot 1\cdot 6=18$ 通りである。

・ $h=3$ では表の目の合計は少なくとも $3$ で、0にはならない。

各回のコインとサイコロの組は12通りあり、3回の全結果は $12^3=1728$ 通りである。したがって求める確率は $\displaystyle \frac{108+18}{1728}=\frac{7}{96}$ である。確かめとして、表が1回のときの確率は $\displaystyle \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{16}$、表が2回のときの確率は $\displaystyle \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{36}=\frac{1}{96}$ であり、その和も $\displaystyle \frac{7}{96}$ となる。