1東海大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 有理化すると $$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{13}+1}=\sqrt{13}-1.$$ $3<\sqrt{13}<4$ なので，小数部分は $b=\sqrt{13}-3$ である。従って $$\displaystyle \frac1b=\frac{1}{\sqrt{13}-3}=\frac{\sqrt{13}+3}{13-9}=\frac{\sqrt{13}+3}{4}.$$

(2) $k>0$ より二次関数は上に開き，平方完成または頂点の値から最小値は $$\displaystyle -3k^2+2k+5-\frac1k.$$ これが3であるから，$k>0$ を用いて $$\displaystyle -3k^2+2k+2-\frac1k=0 \quad\text{すなわち}\quad 3k^3-2k^2-2k+1=0 \quad\text{すなわち}\quad (k-1)(3k^2+k-1)=0.$$ 条件 $k\ne1$ から二次方程式を解く。2解のうち正のものは $$\displaystyle k=\frac{-1+\sqrt{13}}6=\frac{\sqrt{13}-1}{6}.$$

(3) 素因数分解は $1680=2^4\cdot3\cdot5\cdot7$ なので，約数の和は $$(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3)(1+5)(1+7) =31\cdot4\cdot6\cdot8=5952.$$

(4) $u=1-x^2$ とおくと，$x^2=1-u$，$x\,dx=-du/2$ である。積分区間も $x=0,1$ に対し $u=1,0$ となるから $$\displaystyle \int_0^1x^3(1-x^2)^8\,dx =\frac12\int_0^1(1-u)u^8\,du =\frac12\left(\frac19-\frac1{10}\right)=\frac1{180}.$$ 従って $\text{エ}=180$。

(5) 内積を用いると $$\vec a\cdot\vec b=1\cdot4\cos60^\circ=2,\quad \vec a\cdot\vec c=1\cdot\sqrt2\cos45^\circ=1,\quad \vec b\cdot\vec c=4\cdot\sqrt2\cos90^\circ=0.$$ よって $$|\vec a+\vec b+\vec c|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2 +2(\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c) =1+16+2+2(2+1+0)=25,$$ ゆえに $|\vec a+\vec b+\vec c|=5$。

(6) 直線上で $P$ に近い方の交点までの距離を $s$ とすると，もう一方までの距離は $s+6$ である。$PA=8$ なので，$A$ が近い交点なら $s=8$，遠い交点なら $s+6=8$，すなわち $s=2$ である。方べきの定理から $$OP^2-4^2=s(s+6).$$ 従って，2つの場合は $$OP=\sqrt{16+8\cdot14}=8\sqrt2,\qquad OP=\sqrt{16+2\cdot8}=4\sqrt2.$$ 小さい順に $\text{カ}=4\sqrt2,\ \text{キ}=8\sqrt2$。

(7) 二項定理より $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^n\binom nk=(1+1)^n=2^n,$$ 従って $\text{ク}=2^n$。次に各項を二項係数で表すと $$\displaystyle \frac{1}{k!(2n+1-k)!}=\frac{1}{(2n+1)!}\binom{2n+1}{k}\quad(1\le k\le n).$$ $2n+1$ は奇数で，$\displaystyle \binom{2n+1}{k}=\binom{2n+1}{2n+1-k}$ だから，対称な係数を組にすると $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}=\frac{2^{2n+1}}2=2^{2n}.$$ 従って $k=1$ から $n$ までの和は $2^{2n}-1$ であり， $$\displaystyle \text{ケ}=\frac{2^{2n}-1}{(2n+1)!}.$$

(8) $3x^2+13x+5=0$ の解は異なる（判別式は $109>0$）ので $\alpha\ne\beta$。解と係数の関係から $\alpha\beta=5/3$。一般に $$\displaystyle y=ax^2+px+c=a\left(x+\frac{p}{2a}\right)^2+c-\frac{p^2}{4a}$$ の準線は，頂点の縦座標から $1/(4a)$ を引いた水平線である。従って二つの準線はそれぞれ $$\displaystyle y=\beta-\frac{p^2+1}{4\alpha},\qquad y=\alpha-\frac{p^2+1}{4\beta}.$$ これらが一致する条件を整理すると $$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{p^2+1}{4}\left(\frac1\alpha-\frac1\beta\right) =\frac{p^2+1}{4}\cdot\frac{\beta-\alpha}{\alpha\beta}.$$ $\alpha\ne\beta$ より $(p^2+1)/4=\alpha\beta=5/3$。したがって $p^2=17/3$ であり，$p>0$ だから $$\displaystyle p=\sqrt{\frac{17}{3}}=\frac{\sqrt{51}}3.$$