東海大学／2017年度／A方式一次2/2

東海大学 2017年数学第2問解答・解説

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1問題

東海大学2017年度第2問

(1) 2種類の種 $A,B$ がある。種 $A$ の発芽率は75%，種 $B$ の発芽率は60%である。

(i) 種 $A$ を1粒，種 $B$ を2粒花壇に植えたとき，少なくとも1粒が発芽する確率は $\boxed{\text{ア}}$ である。

(ii) 種 $A$ と種 $B$ を1粒ずつ花壇 $X$ ，花壇 $Y$ ，花壇 $Z$ に植えたとき，すべての花壇で少なくとも1粒発芽する確率は $\boxed{\text{イ}}$ である。

(2) 2個のさいころを同時に投げて，出た目の和が $n$ であるとき， $\displaystyle a=\sin\frac{n\pi}{2},\quad b=\sin\frac{n\pi}{3},\quad c=\sin\frac{n\pi}{4},\quad d=\sin\frac{n\pi}{6}$ とする。

(i) $a=1$ となる確率は $\boxed{\text{ウ}}$ であり， $\displaystyle b=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる確率は $\boxed{\text{エ}}$ である。また， $\displaystyle c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となる確率は $\boxed{\text{オ}}$ であり， $\displaystyle d=\dfrac{1}{2}$ となる確率は $\boxed{\text{カ}}$ である。

(ii) $a,b,c,d$ のうち，少なくとも1つが0である確率は $\boxed{\text{キ}}$ である。

(iii) $a,b,c,d$ のうち，少なくとも1つが負である確率は $\boxed{\text{ク}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

種子の発芽は独立試行として余事象を使い，さいころでは和の度数と正弦の周期を表にして該当する場合を数えた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア $\displaystyle =\frac{24}{25},\quad$ イ $\displaystyle =\frac{729}{1000},\quad$ ウ $\displaystyle =\frac29,\quad$ エ $\displaystyle =\frac13,\quad$ オ $\displaystyle =\frac29,\quad$ カ $\displaystyle =\frac19,\quad$ キ $\displaystyle =\frac23,\quad$ ク $\displaystyle =\frac{17}{18}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

【追加仮定（原文に明記なし）】小問(1)では各粒の発芽が互いに独立であり、小問(2)では2個のさいころが互いに独立な公平さいころであるという確率モデルを用います。

(1) 各粒の発芽を独立に考える。

(i) 3粒とも発芽しない確率は，Aの1粒が発芽しない確率 $1/4$ とBの2粒がともに発芽しない確率 $(2/5)^2$ の積である。従って少なくとも1粒が発芽する確率は $\displaystyle 1-\frac14\left(\frac25\right)^2=1-\frac1{25}=\frac{24}{25}.$ よって $\text{ア}=24/25$ 。

(ii) 各花壇ではA，Bの両方が発芽しない確率が $(1/4)(2/5)=1/10$ なので，少なくとも一方が発芽する確率は $9/10$ 。花壇X，Y，Zの発芽事象は独立だから，すべての花壇で少なくとも一粒が発芽する確率は $\displaystyle \left(\frac9{10}\right)^3=\frac{729}{1000}.$ よって $\text{イ}=729/1000$ 。

(2) さいころ2個の和 $n$ は2から12で，それぞれの場合の数は $\begin{array}{c|rrrrrrrrrrr} n&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline \text{場合の数}&1&2&3&4&5&6&5&4&3&2&1 \end{array}$ である。全36通りを等確率とする。

(i) $a=1$ となるのは $n\equiv1\pmod4$ の $n=5,9$ であり，確率は $(4+4)/36=2/9$ 。 $b=-\sqrt3/2$ となるのは $n\equiv4,5\pmod6$ の $n=4,5,10,11$ であり，確率は $(3+4+3+2)/36=1/3$ 。 $c=\sqrt2/2$ となるのは $n\equiv1,3\pmod8$ の $n=3,9,11$ であり，確率は $(2+4+2)/36=2/9$ 。 $d=1/2$ となるのは $n\equiv1,5\pmod{12}$ のうち可能な $n=5$ だけなので，確率は $4/36=1/9$ 。従って $\displaystyle \text{ウ}=\frac29,\quad \text{エ}=\frac13,\quad \text{オ}=\frac29,\quad \text{カ}=\frac19.$

(ii) $a,b,c,d$ のどれかが0となるのは， $n$ が2または3の倍数のときである（4の倍数は2の倍数に，6の倍数は2または3の倍数に含まれる）。該当する和は $2,3,4,6,8,9,10,12$ で，場合の数の合計は $1+2+3+5+5+4+3+1=24.$ よって確率は $24/36=2/3$ ，従って $\text{キ}=2/3$ 。

(iii) 各正弦が負となる和は，順に $\begin{array}{c|l} a&3,7,11\\ b&4,5,10,11\\ c&5,6,7\\ d&7,8,9,10,11 \end{array}$ である。少なくとも一つが負となる和の集合は $\{3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ 。これらの場合の数は $2+3+4+5+6+5+4+3+2=34$ なので，確率は $34/36=17/18$ 。従って $\text{ク}=17/18$ 。

この問題で使う考え方

積の法則
確率の基本法則
余事象
独立な試行
三角関数の相互関係
三角関数の周期・グラフ

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