4広島大学 2016年 数学 第4問解答・解説

agraph{(1)} 4回後に原点にいるのは，最初の4回で表が3回，裏が1回出る場合に限る。よって $$\displaystyle \Pr\{(x_4,y_4)=(0,0)\}=\binom41\left(\frac12\right)^4=\boxed{\frac14}.$$

agraph{(2)} $(x_8,y_8)=(5,3)$なら座標和は8であるため，8回の間に原点へ戻ることはない。戻りが起きずに終点が$(5,3)$となる全列は，表5回・裏3回の$\displaystyle \binom85=56$列である。そのうち最初の4回が表3回・裏1回なら4回目に原点へ戻る。このような列数は，最初の4回の並べ方$\displaystyle \binom43$と残り4回の並べ方$\displaystyle \binom42$の積で，$4\cdot6=24$列である。したがって $$\displaystyle \Pr\{(x_8,y_8)=(5,3)\} =\frac{\binom85-\binom43\binom42}{2^8} =\frac{56-24}{256} =\boxed{\frac18}.$$

agraph{(3)} 最初の4回で原点に戻れば，その後の4回で再び戻るかどうかにかかわらず，8回後の座標和は0または4である。一方，最初の4回で戻らなければ，その時点の位置は座標和4で$(3,1)$とは異なり，以後は戻りが起こらないので，8回後の座標和は8である。したがって求める事象は最初の4回で戻る事象と一致し， $$\displaystyle \Pr\{x_8+y_8\le4\}=\boxed{\frac14}.$$

agraph{(4)} 4回ずつのまとまりを考える。原点から始めたまとまりで原点に戻る確率は$p=1/4$，戻らない確率は$q=3/4$である。最初に戻らないまとまりが第$j$まとまりなら，その確率は$p^{j-1}q$であり，時刻$4n$での座標和は$4(n-j+1)$となる。全$n$まとまりで戻り続ける場合の確率は$p^n$で，座標和は0である。 よって$x_{4n}+y_{4n}\le4k$となるのは，全てのまとまりで戻る場合，または最初に戻らないまとまりが$j\ge n-k+1$の場合である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \Pr\{x_{4n}+y_{4n}\le4k\} &=\sum\limits _{j=n-k+1}^{n}p^{j-1}q+p^n\\ &=p^{n-k}(1-p^k)+p^n\\ &=p^{n-k}\\ &=\boxed{4^{k-n}}. \end{aligned}$$ ここで$1\le k\le n$であり，$p=1/4$を用いた。