1広島大学 2016年 数学 第1問解答・解説

解答 $$\overrightarrow{OA}=(s,s,s),\quad \overrightarrow{OB}=(-1,1,1),\quad \overrightarrow{OC}=(0,0,1).$$

(1) $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{d} =\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} -t|\overrightarrow{OA}|^2 =s-3s^2t=0.$$ $s>0$ より $$\displaystyle t=\frac{1}{3s},\qquad \overrightarrow{d}=\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA} =\left(-\frac43,\frac23,\frac23\right).$$

(2) $$0=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{e} =\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} -u|\overrightarrow{OA}|^2-v(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}) =s-3s^2u-sv,$$ したがって $3su+v=1$。 また、(1)より $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{d}=0$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac23,\qquad \overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac83.$$ よって $\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{e}=0$ から $$\displaystyle 0=\frac23-\frac83v,\qquad v=\frac14,\qquad u=\frac{1}{4s}.$$ これを $\overrightarrow{e}$ に代入すると $$\displaystyle \overrightarrow{e}=\overrightarrow{OC}-u\overrightarrow{OA}-v\overrightarrow{OB} =\left(0,-\frac12,\frac12\right).$$

(3) $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ は互いに垂直である。したがって三角形 $OAD$ は直角三角形で、$OE$ はその底面に垂直である。各辺の長さは $$\displaystyle |\overrightarrow{OA}|=\sqrt3s,\qquad |\overrightarrow{d}|=\frac{2\sqrt6}{3},\qquad |\overrightarrow{e}|=\frac{1}{\sqrt2}.$$ 底面積×高さ÷3より、 $$\displaystyle 2=\frac13\left(\frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{d}|\right)|\overrightarrow{e}| =\frac16(\sqrt3s)\frac{2\sqrt6}{3}\frac1{\sqrt2} =\frac{s}{3}.$$ $s>0$ を確認して $$s=6.$$