2福島県立医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$\vec a,\vec b,\vec c$ を座標軸とする。このとき、各軸は互いに直交し、長さの単位は立方体の一辺である。頂点の座標は $$O=(0,0,0),\ A=(1,0,0),\ B=(0,1,0),\ C=(0,0,1),\ D=(1,1,0),\ E=(1,0,1),\ F=(1,1,1),\ G=(0,1,1)$$ となり、$P=(t,t,t)$ である。　 $Q=A+u(G-A)$ とおく。$PQ\perp AG$ より $$\displaystyle u=\frac{(P-A)\cdot(G-A)}{|G-A|^2}=\frac{1+t}{3}.$$ 同様に、$R=B+v(E-B)$、$S=D+w(C-D)$ とおくと、 $$\displaystyle v=\frac{(P-B)\cdot(E-B)}{|E-B|^2}=\frac{1+t}{3},\qquad w=\frac{(P-D)\cdot(C-D)}{|C-D|^2}=\frac{2-t}{3}.$$ $\displaystyle 0<t<\frac12$ なので $0<u,v,w<1$ であり、いずれも指定された対角線上の垂線の足である。したがって $$\displaystyle Q=\left(\frac{2-t}{3},\frac{1+t}{3},\frac{1+t}{3}\right),\quad R=\left(\frac{1+t}{3},\frac{2-t}{3},\frac{1+t}{3}\right),\quad S=\left(\frac{1+t}{3},\frac{1+t}{3},\frac{2-t}{3}\right).$$ ゆえに (1) の答えは $$\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac{1+t}{3}\vec a+\frac{2-t}{3}\vec b+\frac{1+t}{3}\vec c$$ である。　 $\delta=1-2t$ とおくと $\delta>0$ である。上の座標から、向きも含めて $$\displaystyle \overrightarrow{QR}=\frac{\delta}{3}(-\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{RS}=\frac{\delta}{3}(-\vec b+\vec c),\qquad \overrightarrow{SQ}=\frac{\delta}{3}(\vec a-\vec c)$$ となる。$\vec a,\vec b,\vec c$ は互いに直交する単位ベクトルなので、 $$\displaystyle QR=RS=SQ=\frac{\sqrt2}{3}\delta>0.$$ したがって (2) の $\triangle QRS$ は正三角形である。　 $M$ を $\triangle QRS$ の重心とする。正三角形の重心は外心でもあり、 $$\displaystyle M=\left(\frac{4+t}{9},\frac{4+t}{9},\frac{4+t}{9}\right).$$ $Q,R,S$ はいずれも平面 $x+y+z=(4+t)/3$ 上にある。一方、$P$ と $M$ はともに $x=y=z$ 上にあるので、$PM$ はこの平面に垂直である。$P\ne M$ は $\delta>0$ から従う。底面の外接円半径を $m=MQ$、四面体の高さを $h=MP$ とすると、 $$\displaystyle m^2=\left(\frac{2\delta}{9}\right)^2+2\left(\frac{\delta}{9}\right)^2 =\frac{2\delta^2}{27},\qquad h=\sqrt3\left(\frac{4+t}{9}-t\right)=\frac{4\sqrt3}{9}\delta,$$ ゆえに $h^2=16\delta^2/27$ である。　 四面体の外接球の中心 $T$ は $Q,R,S$ から等距離であるから、$M$ を通り底面に垂直な直線上にある。$M$ から $P$ へ向かう向きを正とした $T$ の位置を $x$ とすれば、$TP=TQ$ より $$\displaystyle (h-x)^2=x^2+m^2,\qquad x=\frac{h^2-m^2}{2h}.$$ よって、求める半径は $$\displaystyle \rho=TP=h-x=\frac{h^2+m^2}{2h} =\frac{\frac{18\delta^2}{27}}{\frac{8\sqrt3\delta}{9}} =\frac{\sqrt3}{4}\delta =\boxed{\frac{\sqrt3}{4}(1-2t)}.$$ $\displaystyle 0<t<\frac12$ より $\delta>0$ で、上の除算は有効である。