3名古屋市立大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) 点Aから点B,Cへ向かうベクトルは $$\overrightarrow{AB}=(3,0,-3),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,2,-2)$$ である。$\vec n=(a,1,c)$ が平面$\alpha$に垂直だから、これら二つのベクトルと内積が0となり、 $$3a-3c=0,\qquad a+2-2c=0.$$ 第1式から$a=c$であり、これを第2式に代入すると$2-a=0$となる。よって $$a=2,\qquad c=2.$$

(2) 平面$\alpha$の法線ベクトルは$(2,1,2)$であり、点Aを通るので、平面の方程式は $$2(x+1)+(y-1)+2(z-3)=0, \quad\text{すなわち}\quad 2x+y+2z=5$$ である。垂線の足を$H=P-\lambda(2,1,2)$とおく。$H$は$\alpha$上にあるので、$P=(5,3,5)$を代入して $$(2,1,2)\cdot\bigl((5,3,5)-\lambda(2,1,2)\bigr)=5,$$ $$23-9\lambda=5, \quad\text{したがって}\quad \lambda=2.$$ したがって $$H=(5,3,5)-2(2,1,2)=(1,1,1).$$ 実際、$2\cdot1+1+2\cdot1=5$より$H\text{ は平面 }\alpha\text{ 上}$であり、$\overrightarrow{PH}=(-4,-2,-4)=-2(2,1,2)$は平面の法線方向である。

(3) 点Dについても$2\cdot5+1+2(-3)=5$だから、A,C,Dはすべて$\alpha$上にある。したがって四面体$QABC$、$RACD$の高さは、それぞれ点Q,Rからこの平面までの距離である。$\lVert(2,1,2)\rVert=3$を用いると、 $$\begin{aligned} (2,1,2)\cdot Q-5&=2(2t+5)+(t+3)+2(2t-4)-5=9t,\\ (2,1,2)\cdot R-5&=2(2u+3)+(u-1)+2(2u)-5=9u. \end{aligned}$$ $t,u>0$なので、高さはそれぞれ$3t,3u$である。

底面積を求める。二つのベクトル$\vec v,\vec w$が作る三角形の面積は、内積の式$\vec v\cdot\vec w=\lVert\vec v\rVert\lVert\vec w\rVert\cos\theta$と$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$から $$\displaystyle \frac12\sqrt{\lVert\vec v\rVert^2\lVert\vec w\rVert^2-(\vec v\cdot\vec w)^2}$$ と表せる。ここで $$\begin{gathered} \lVert\overrightarrow{AB}\rVert^2=18,\quad \lVert\overrightarrow{AC}\rVert^2=9,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=9,\\ \lVert\overrightarrow{AD}\rVert^2=72,\quad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=18 \end{gathered}$$ より、 $$\displaystyle [ABC]=\frac12\sqrt{18\cdot9-9^2}=\frac92, \qquad [ACD]=\frac12\sqrt{9\cdot72-18^2}=9.$$ よって四面体の体積は底面積と高さの積の$\displaystyle \frac13$だから、体積比は $$\displaystyle \operatorname{Vol}(QABC):\operatorname{Vol}(RACD) =\left(\frac13\cdot\frac92\cdot3t\right):\left(\frac13\cdot9\cdot3u\right) =t:2u.$$