2島根大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) 点の座標から，$\overrightarrow{AB}=(2,0,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(0,2,-1)$ である。したがって，$\vec v=(a,b,1)$ が両方に直交する条件は $$\vec v\cdot\overrightarrow{AB}=2a-1=0,\qquad \vec v\cdot\overrightarrow{AC}=2b-1=0$$ である。よって $\displaystyle a=b=\dfrac12$。

(2) (1) より $\displaystyle \left(\dfrac12,\dfrac12,1\right)$ は平面 $ABC$ の法線ベクトルである。平面 $ABC$ は点 $A(0,0,1)$ を通るので，その方程式は $$\displaystyle \frac12x+\frac12y+(z-1)=0,\quad \text{すなわち}\quad x+y+2z=2$$ となる。垂線 $OH$ はこの法線方向にあるから，$\displaystyle H=\left(\dfrac t2,\dfrac t2,t\right)$ とおける。これを平面の方程式に代入すると $3t=2$，したがって $\displaystyle t=\dfrac23$ である。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\left(\frac13,\frac13,\frac23\right).$$ (3) 三角形 $OAB$ は $OA=1$，$OB=2$ の直角三角形なので，その面積は $1$ である。また，平面 $OAB$ は $y=0$ であり，点 $C$ からこの平面までの距離は $2$ である。よって $$\displaystyle V=\frac13\cdot1\cdot2=\frac23.$$ 次に，$AB=AC=\sqrt5$，$BC=\sqrt8=2\sqrt2$ である。$M$ を $BC$ の中点とすると，二等辺三角形の性質から $AM\perp BC$，かつ $BM=\sqrt2$ である。したがって $$\displaystyle AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5-2}=\sqrt3,\qquad S=\frac12\cdot BC\cdot AM=\sqrt6.$$ (4) 四面体の各面の面積は，$\triangle OAB$ が $1$，$\triangle OAC$ が $1$，$\triangle OBC$ が $2$，$\triangle ABC$ が $\sqrt6$ である。よって全表面積は $4+\sqrt6$ である。内接球の中心から各面までの距離は半径 $r$ だから，四面体を各面を底面とする四つの三角錐に分けると，その体積の和は $$\displaystyle V=\frac13r(4+\sqrt6).$$ (3) の $\displaystyle V=\dfrac23$ を代入して $$\displaystyle r=\frac{3V}{4+\sqrt6}=\frac{2}{4+\sqrt6}=\frac{4-\sqrt6}{5}.$$