3島根大学 2009年 数学 第3問解答・解説

採用解説: MM-71d85f5ff44c-Q3 結論　 $\displaystyle \tan t=\frac{1}{2a},\quad a=\frac{1}{2}\cot t;\qquad I=t+\frac{1}{2}\cot t-\frac{\pi}{4};\qquad I_{\min}=\frac{1}{2}\ (t=\frac{\pi}{4},\ a=\frac{1}{2})$.　 　 (1)　 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ では $\cos x>0$ であり、$\sin 2x=2\sin x\cos x$ だから、$$f(x)=\cos^2x\left(2a\tan x-1\right).$$ よって $f(x)=0$ は $\displaystyle \tan x=\frac{1}{2a}$ と同値である。$\tan x$ はこの区間で連続であり、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0^+}\tan x=0$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to\pi/2^-}\tan x=+\infty$ である。また、$\displaystyle 0<x<y<\frac{\pi}{2}$ なら $$\displaystyle \tan y-\tan x=\frac{\sin(y-x)}{\cos x\cos y}>0$$ だから、$\tan x$ は異なる $x$ に対して同じ値をとらずに増加する。したがって正の数 $\displaystyle \frac{1}{2a}$ を値にとる $x$ はただ1つであり、これを $t$ とすると $$\displaystyle \tan t=\frac{1}{2a},\qquad a=\frac{1}{2}\cot t.$$ 　 (2)　 $\tan x$ の増加性より、$0<x<t$ では $f(x)<0$、$\displaystyle t<x<\frac{\pi}{2}$ では $f(x)>0$ である。原始関数を $$\displaystyle F(x)=-\frac{a}{2}\cos 2x-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin 2x$$ とすると、$$\displaystyle I=-\int_0^t f(x)\,dx+\int_t^{\pi/2}f(x)\,dx=F(0)+F\left(\frac{\pi}{2}\right)-2F(t)=a\cos 2t+t+\frac{1}{2}\sin 2t-\frac{\pi}{4}.$$ ここで $\displaystyle \tan t=\frac{1}{2a}$ より $\displaystyle a=\frac{1}{2}\cot t$ であり、$$\displaystyle a\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t=\frac{1}{2}\left(\cot t\cos 2t+\sin 2t\right)=\frac{1}{2}\cot t$$ を得る。したがって $$\displaystyle I=t+\frac{1}{2}\cot t-\frac{\pi}{4}.$$ 　 (3)　 $\displaystyle a=\frac{1}{2}\cot t$ は $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$ で正であり、$t$ がこの区間を動くと $a$ は正の値をすべてとる。したがって $I$ の最小化は $$\displaystyle I(t)=t+\frac{1}{2}\cot t-\frac{\pi}{4}$$ の最小化に等しい。$$\displaystyle I'(t)=1-\frac{1}{2\sin^2t}=\frac{2\sin^2t-1}{2\sin^2t}.$$ $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{4}$ では $I'(t)<0$、$\displaystyle \frac{\pi}{4}<t<\frac{\pi}{2}$ では $I'(t)>0$ だから、最小となるのは $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ である。このとき $$\displaystyle I_{\min}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2},\qquad a=\frac{1}{2}\cot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}.$$