5北海道大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1)　 h(x)=$\sin$ x-$\displaystyle \frac{2x}{\pi}$ とおく。 h(0)=h$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}\right)$=0 であり， $$\displaystyle h''(x)=-\sin x\leq 0\qquad\left(0\leq x\leq\frac{\pi}{2}\right).$$ したがって h'(x) は単調減少する。また $$\displaystyle h'(0)=1-\frac{2}{\pi}>0,\qquad h'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{\pi}<0$$ なので，h は区間の初めで増加し，その後減少する。両端で値が 0 であるから，区間全体で h(x)$\geq$0。よって $$\displaystyle \frac{2x}{\pi}\leq\sin x.$$

(2)　 $$\displaystyle D(x)=f(x)-g(x)=\frac{\pi}{2}+\cos x-\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}$$ とおく。平方根内は $\displaystyle \frac{\pi^2}{2}-x^2\geq\frac{\pi^2}{4}>0$ である。(1)より $$\displaystyle \begin{aligned} \sin^2x\left(\frac{\pi^2}{2}-x^2\right) &\geq \frac{4x^2}{\pi^2}\left(\frac{\pi^2}{2}-x^2\right)\\ &=x^2\left(2-\frac{4x^2}{\pi^2}\right)\geq x^2 \end{aligned}$$ （最後は $\displaystyle x^2\leq\frac{\pi^2}{4}$ による）。各項は非負だから $$\displaystyle \sin x\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}\geq x, \qquad D'(x)=-\sin x+\frac{x}{\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}}\leq0.$$ よって D は単調減少し， $$\displaystyle D\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$ であるから $D(x)\geq0$。すなわち $g(x)\leq f(x)$。

(3)　 (2)より求める面積 A は $$\displaystyle A=\int_0^{\pi/2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx =1+\frac{\pi^2}{4}-\int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}\,dx.$$ 最後の積分で $\displaystyle a=\frac{\pi}{\sqrt2}$, $x=a\sin t$ とおくと，積分区間は $\displaystyle 0\leq t\leq\frac{\pi}{4}$ であり， $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{\pi^2}{2}-x^2}\,dx &=a^2\int_0^{\pi/4}\cos^2t\,dt\\ &=\frac{\pi^2}{2}\left[\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right]_0^{\pi/4} =\frac{\pi^3}{16}+\frac{\pi^2}{8}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \boxed{A=1+\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi^3}{16}}.$$