3北海道大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 差を取ると $$(1000a+100b+10c+d)-(a+b+c+d)=9(111a+11b+c).$$ 右辺は9の倍数なので、一方が9の倍数であることと他方が9の倍数であることは同値である。

(2) 実物のカード8枚を区別すると、順に4枚並べる方法は $8\cdot7\cdot6\cdot5=1680$ 通り。数字の和は2以上20以下であり、9の倍数となるには和9又は18が必要十分である。各数字は2枚以下なので、数字の組は $\{0,0,1,8\},\{0,2,8,8\},\{1,1,8,8\}$ の3種類に限る。 それぞれの実物カードの列数は $$\displaystyle \frac{4!}{2!}(2!\cdot2\cdot2)=96,\quad96,\quad\frac{4!}{2!2!}(2!\cdot2!)=24.$$ よって求める確率は $(96+96+24)/1680=\boxed{9/70}$。

(3) 偶数となる列は末尾が0,2,8のカード6枚のいずれかなので、$6\cdot7\cdot6\cdot5=1260$ 通り。上の3組で末尾が偶数となる割合はそれぞれ $3/4,1,1/2$ であり、有利な列数は $$\displaystyle 96\cdot\frac34+96+24\cdot\frac12=180.$$ したがって条件付き確率は $180/1260=\boxed{1/7}$。先頭の0も問題の規定に従ってそのまま数えている。