1東海大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 3回の訪問を $A_1,B,A_2$ とする。最初に傘を1本だけ持っているので、傘を忘れるのは訪問先のうち最初の1回だけである。忘れたことに気づく事象を $E$ とすると、 $$\displaystyle P(E)=1-\left(\frac67\right)^3=\frac{127}{343}.$$ 店 $A$ に忘れるのは、最初の $A_1$ で忘れる場合か、$A_1$ と $B$ では忘れず最後の $A_2$ で忘れる場合である。したがって $$\displaystyle P(\text{店Aに忘れる})=\frac17+\left(\frac67\right)^2\frac17=\frac{85}{343}.$$ よって求める条件付き確率は $$\displaystyle P(\text{店Aに忘れる}\mid E)=\frac{85/343}{127/343}=\frac{85}{127}.$$

(2) 弧長の公式より、曲線の長さは $\displaystyle \int_0^2\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ である。微分して $$\displaystyle y'=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}2.$$ $e^{2x}e^{-2x}=1$ より $$\displaystyle 1+\left(\frac{e^{2x}-e^{-2x}}2\right)^2 =\left(\frac{e^{2x}+e^{-2x}}2\right)^2.$$ 右辺の平方根は正なので、 $$\displaystyle \int_0^2\sqrt{1+(y')^2}\,dx =\frac12\int_0^2(e^{2x}+e^{-2x})\,dx =\left[\frac{e^{2x}-e^{-2x}}4\right]_0^2 =\frac{e^4-e^{-4}}4.$$

(3) $1800=2^3\cdot3^2\cdot5^2$ である。正の約数は $2^a3^b5^c$（$0\le a\le3,\ 0\le b,c\le2$）と表せるため、逆数の総和は $$\displaystyle \left(1+\frac12+\frac14+\frac18\right) \left(1+\frac13+\frac19\right) \left(1+\frac15+\frac1{25}\right) =\frac{15}{8}\cdot\frac{13}{9}\cdot\frac{31}{25} =\frac{403}{120}.$$

(4) $u=\log a,\ v=\log b$ とおく。$a,b\ne1$ より $u\ne0$ である。重解をもつ条件は判別式が0となることだから $$(u+v)^2-4(2u)v=0,$$ すなわち $u^2-6uv+v^2=0$。$\displaystyle t=\dfrac vu=\log_a b$ とおけば $$t^2-6t+1=0, \qquad t=3\pm2\sqrt2.$$ 大小条件より $\text{エ}=3-2\sqrt2,\ \text{オ}=3+2\sqrt2$。また $\log_b a=1/t$ で、この2根の積は1だから、$\log_a b$ と $\log_b a$ はこの2値を1つずつとる。よって、それらを解にもつ方程式は $$x^2-6x+1=0,$$ したがって $\text{カ}=-6,\ \text{キ}=1$。