I愛知医科大学 2020年 数学 第I問解答・解説

解答

1) $x>0$ なので $t=\log_{10}x$ とおくと $\log_{10}x^4=4t$ である。したがって $$y=t^2-4t+6=(t-2)^2+2\ge 2.$$ $t=2$（すなわち $x=100$）で等号となるから，最小値は $2$ である。

2) 平均は $a+3$ であり，各値から平均を引いた値は $-3,-1,1,3$ である。よって分散は $$\displaystyle \frac{(-3)^2+(-1)^2+1^2+3^2}{4}=5.$$

3) 平方根を $u+vi$（$u,v$ は実数）とすると $$u^2-v^2=2,\qquad 2uv=-2\sqrt3.$$ この2式から $(u^2+v^2)^2=(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=16$ なので $u^2+v^2=4$。したがって $u^2=3, v^2=1$ であり，$uv<0$ を満たす組は $(u,v)=(\sqrt3,-1),(-\sqrt3,1)$ である。平方根は $$\pm(\sqrt3-i).$$

4) 8個の場所から $a$ の3個，残り5個から $b$ の3個，残り2個から $c$ の1個を選べばよい。係数は $$\displaystyle \binom83\binom53\binom21=1120.$$

5) まず傾きが有限の接線を $y=mx+1$ とおく。放物線に代入すると $$m^2x^2+(2m-2)x+1=0.$$ 接するには交点の二次方程式が重解をもつので，判別式を0とおくと $$(2m-2)^2-4m^2=4(1-2m)=0,$$ よって $m=1/2$ であり，接線は $\displaystyle y=\frac12x+1$ である。また垂直な直線で $(0,1)$ を通るものは $x=0$ で，放物線 $y^2=2x$ と頂点 $(0,0)$ で接する。したがって求める接線は $$\displaystyle x=0,\qquad y=\frac12x+1.$$

6) 基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}(e^u-1)/u=1$ と $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\sin u/u=1$ を用いる。$2^x=e^{x\ln2}$ より $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{2^x-1}{\sin2x} =\left(\lim\limits _{x\to0}\frac{e^{x\ln2}-1}{x\ln2}\right)\frac{\ln2}{2}\left(\lim\limits _{x\to0}\frac{2x}{\sin2x}\right) =\frac{\ln2}{2}.$$ ここで $\ln2=\log_e2$ である。

7) 公比を $r$ とすると $-3r^3=24$ より $r=-2$。初項から第 $n$ 項までの和は $$\displaystyle S_n=\frac{-3(1-(-2)^n)}{1-(-2)}=(-2)^n-1.$$ $n$ が奇数なら $S_n<0$。偶数では $S_2=3,\ S_4=15,\ S_6=63,\ S_8=255$ なので，初めて100を超えるのは $n=8$ である。

8) $\sin^3x=\sin x(1-\cos^2x)$ を用いると $$\displaystyle \int_0^\pi\sin^3x\,dx =\left[-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}\right]_0^\pi =\frac43.$$