IV愛知医科大学 2020年 数学 第IV問解答・解説

1) $\overrightarrow{AB}=(-4,1,2),\ \overrightarrow{AC}=(-2,-1,0)$ とおく。$\mathbf n=(1,-2,3)$ とすると、$\mathbf n$$\cdot$$\overrightarrow{AB}$=-4-2+6=0, $\mathbf n$$\cdot$$\overrightarrow{AC}$=-2+2+0=0。したがって平面$\alpha$ の方程式は $$\mathbf n\cdot((x,y,z)-A)=0,\qquad x-2y+3z=1.$$ $P=(1,-2,1)$ について $\mathbf n$$\cdot$ P=8、平面上では $\mathbf n$$\cdot$ T=1。したがって垂線の足 T は $$\displaystyle T=P-\frac{8-1}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n =P-\frac12(1,-2,3)=\left(\frac12,-1,-\frac12\right).$$

2) 三角形の平面への垂線の足が T なので、三角形ABCの内部または周上の任意の点Xに対し $$\displaystyle PX^2=PT^2+TX^2,\qquad PT^2=\frac{7^2}{14}=\frac72.$$ T から辺 BC への垂線の足を F とする。$\displaystyle \overrightarrow{BC}=(2,-2,-2),\ \overrightarrow{BT}=(\frac12,-2,-\frac32)$ だから $$\displaystyle \frac{\overrightarrow{BT}\cdot\overrightarrow{BC}}{|BC|^2}=\frac8{12}=\frac23, \qquad F=B+\frac23\overrightarrow{BC}=\left(\frac43,-\frac13,-\frac13\right).$$ よって F は辺 BC 上にあり、TF^2=7/6。さらに $$\displaystyle T=A+\frac14\overrightarrow{AB}+\frac54\overrightarrow{AC} =-\frac12A+\frac14B+\frac54C$$ だから T は辺 BC をはさんで A と反対側にある。三角形内の点は直線 BC の A 側にある一方、T は反対側にあるため、T から三角形内の点までの垂直成分は TF 以上である。F は辺 BC 上にあるので、F が T から三角形への最短点である。従って、Xが三角形ABCの内部または周上を動くとき、$PX^2$の最小値は $$\displaystyle PT^2+TF^2=\frac72+\frac76=\frac{14}{3}.$$

一方、頂点までの距離は $PA^2=17,\quad PB^2=10,\quad PC^2=6$。三角形内の点の位置ベクトルは、A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれ0以上の係数で、係数の和が1となるように足し合わせて表せるので、三角不等式から P までの距離は頂点距離の最大値 $\sqrt{17}$ を超えない。A でその値をとる。F から A までの線分は三角形内にあり、距離は連続に最小値から $\sqrt{17}$ まで変わる。したがって球面が三角形と共有点をもつ半径の範囲は $$\displaystyle \boxed{\sqrt{\frac{14}{3}}\le r\le\sqrt{17}}.$$