獨協医科大学／2021年度／2日目

獨協医科大学 2021年 2日目数学第3問解答・解説

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1問題

獨協医科大学2021年度第3問

点 $O$ を原点とする座標空間内に点 $A(0,0,1)$ を中心とする半径1の球面 $S$ がある。点 $B$ の座標を $\displaystyle \left(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$ とする。

(1) 点 $B$ を通り，直線 $AB$ に垂直な平面を $\alpha$ とする。平面 $\alpha$ 上の任意の点 $P$ は $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ を満たす。したがって， $P(x,y,z)$ とすると $2x+\boxed{\text{ウ}}y+\boxed{\text{エ}}z=\boxed{\text{オ}}$ が成り立つ。これより，平面 $\alpha$ と $xy$ 平面の交線を $\ell$ とすると，直線 $\ell$ の方程式は $2x+\boxed{\text{ウ}}y=\boxed{\text{オ}},\qquad z=0$ である。さて，平面 $\alpha$ と球面 $S$ の交線は円となるが，この円を $C$ とする。点 $B$ から直線 $\ell$ および $xy$ 平面にそれぞれ垂線 $BH,BK$ を下ろすと $\displaystyle KH=\frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{クケ}}},\qquad BH=\frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}$ である。また，点 $Q$ を円 $C$ 上の点とするとき， $\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ の最大値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}$ である。

(2) $D(0,2,4)$ とする。 $xy$ 平面上の点 $R(X,Y,0)$ と直線 $DR$ 上の点 $T$ に対し， $\overrightarrow{\mathrm{DT}}=t\overrightarrow{\mathrm{DR}}$ （ $t$ は実数）とおくとき $\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\left(tX,\ (Y-\boxed{\text{チ}})t+\boxed{\text{ツ}},\ -\boxed{\text{テ}}t+\boxed{\text{ト}}\right)$ である。直線 $DR$ が球面 $S$ と接するように点 $R$ が $xy$ 平面上を動くとき，点 $R$ は楕円 $\displaystyle \frac{x^{2}}{\boxed{\text{ナ}}}+\frac{(y+\boxed{\text{ニ}})^{2}}{\boxed{\text{ヌ}}}=1,\qquad z=0$ 上を動く。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=\frac14\quad$ 、 $\quad \alpha:2x+4y+4z=7\quad$ 、 $\quad \ell:2x+4y=7,\space{}z=0\quad$ 、 $\displaystyle \quad KH=\frac{8\sqrt5}{15}\quad$ 、 $\displaystyle \quad BH=\frac{4\sqrt5}{5}\quad$ 、最大値 $\displaystyle \quad \frac{2\sqrt{15}}5\quad$ 。
(2) $\quad \overrightarrow{OT}=(tX,(Y-2)t+2,-4t+4)\quad$ 、楕円 $\displaystyle \quad \frac{X^2}{2}+\frac{(Y+1)^2}{3}=1,\space{}z=0\quad$ 。

使用解法：空間ベクトルの内積、平面の法線と距離、点と直線の距離、三平方の定理、球と平面の断面、直線の媒介変数表示と二次方程式の判別式。
issues：なし。

3解答

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A答案 Q3 — 獨協医科大学 2021

(1) 平面・円と距離

$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\left(\frac16,\frac13,\frac13\right),\qquad \left|\overrightarrow{AB}\right|^2=\frac14.$ 平面 $\alpha$ は直線 $AB$ に垂直で $B$ を通るので、平面 $\alpha$ 上の任意の点 $P$ について $\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} =\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} =\frac14.$ $P=(x,y,z)$ とすると $\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z-1}{3}=\frac14 \quad\text{すなわち}\quad 2x+4y+4z=7.$ 従って交線は $2x+4y=7,\ z=0$ 。

$xy$ 平面への垂線の足は $\displaystyle K=\left(\frac16,\frac13,0\right),\qquad BK=\frac43.$ $K$ から直線 $\ell:2x+4y-7=0$ までの距離は $\displaystyle KH=\frac{\left|2\cdot\frac16+4\cdot\frac13-7\right|}{\sqrt{2^2+4^2}} =\frac{8\sqrt5}{15}.$ $BK$ は $xy$ 平面に垂直で $KH$ はその平面内だから、三平方の定理により $\displaystyle BH=\sqrt{\left(\frac43\right)^2+\left(\frac{8\sqrt5}{15}\right)^2} =\frac{4\sqrt5}{5}.$

$AB$ は平面 $\alpha$ の法線で、 $A$ から $\alpha$ までの距離は $\displaystyle AB=\frac12$ 。球面 $S$ の中心 $A$ から平面までの垂線の足は $B$ であるため、円 $C$ の中心は $B$ 、半径は $\displaystyle BQ=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}.$ $\overrightarrow{BH}$ と $\overrightarrow{BQ}$ はどちらも平面 $\alpha$ 内にあり、後者の長さは一定で全方向をとれる。内積は2方向が同じ向きのとき最大なので $\displaystyle \max\left(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{BQ}\right) =BH\cdot BQ =\boxed{\frac{2\sqrt{15}}5}.$ 箱対応：ア=1、イ=4、ウ=4、エ=4、オ=7、カ=8、キ=5、クケ=15、コ=4、サ=5、シ=5、ス=2、セソ=15、タ=5。

(2) 接線条件を満たす点 $R$

$D=(0,2,4),\quad R=(X,Y,0),\quad \overrightarrow{DR}=(X,Y-2,-4).$ $\overrightarrow{DT}=t\overrightarrow{DR}$ より $\overrightarrow{OT} =(tX,\ 2+(Y-2)t,\ 4-4t) =(tX,\ (Y-2)t+2,\ -4t+4).$ 従ってチ=2、ツ=2、テ=4、ト=4。

直線 $DR$ 上の点 $T$ が球面 $S$ 上にもある条件は $(tX)^2+\{2+(Y-2)t\}^2+(3-4t)^2=1.$ 整理すると $\{X^2+(Y-2)^2+16\}t^2+4(Y-8)t+12=0.$ この二次方程式が重解をもつことが接線条件である。判別式を0とおくと $\{4(Y-8)\}^2-48\{X^2+(Y-2)^2+16\}=0,$ すなわち $\displaystyle 3X^2+2Y^2+4Y-4=0 \quad\text{すなわち}\quad \boxed{\frac{X^2}{2}+\frac{(Y+1)^2}{3}=1}.$ よってナ=2、ニ=1、ヌ=3。

最終答案

(1) $\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=\frac14$ 、 $\alpha:2x+4y+4z=7$ 、 $\ell:2x+4y=7,\ z=0$ 、 $\displaystyle KH=\frac{8\sqrt5}{15}$ 、 $\displaystyle BH=\frac{4\sqrt5}{5}$ 、最大値 $\displaystyle \frac{2\sqrt{15}}5$ 。 (2) $\overrightarrow{OT}=(tX,(Y-2)t+2,-4t+4)$ 、楕円 $\displaystyle \frac{X^2}{2}+\frac{(Y+1)^2}{3}=1,\ z=0$ 。

使用解法：空間ベクトルの内積、平面の法線と距離、点と直線の距離、三平方の定理、球と平面の断面、直線の媒介変数表示と二次方程式の判別式。 issues：なし。

この問題で使う考え方

空間座標と空間ベクトル
ベクトルの内積
ベクトルによる図形の考察
直線の方程式
座標による距離
空間図形の計量
位置ベクトル
ベクトルの成分表示

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