2岡山大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $\overrightarrow{AP}=(x-1,y,z),\quad \overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}=(2x,2y-1,2z-1)$ とおける。よって条件は $$2x(x-1)+y(2y-1)+z(2z-1)=0$$ であり、整理して平方完成すると $$\displaystyle x^2+y^2+z^2-x-\frac12y-\frac12z=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac14\right)^2+\left(z-\frac14\right)^2=\frac38.$$ したがって、$S$ は中心 $\displaystyle Q\left(\frac12,\frac14,\frac14\right)$、半径 $\displaystyle r=\sqrt{\frac38}=\frac{\sqrt6}{4}$ の球面である。

(2)　 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\left(\frac12,\frac14,\frac14\right)$ より、$\displaystyle |OQ|=\sqrt{\frac14+\frac1{16}+\frac1{16}}=\frac{\sqrt6}{4}=r$ である。球面 $S$ 上の任意の点 $P$ について三角不等式から $$|OP|\le |OQ|+|QP|=r+r=2r.$$ $\displaystyle P=2Q=\left(1,\frac12,\frac12\right)$ とすると、$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OQ}$ だから $|QP|=r$ であり、上の等号が成り立つ。よって求める点は $\displaystyle \left(1,\frac12,\frac12\right)$ である。

(3)　 $A,B,C$ を通る平面 $\alpha$ の方程式は $x+y+z=1$ である。$Q$ の座標は $\displaystyle \frac12+\frac14+\frac14=1$ を満たすから、$Q$ は $\alpha$ 上にある。

(4)　 $\alpha$ の法線ベクトルは $(1,1,1)$ なので、直線 $\ell$ は $$\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac12,\frac14,\frac14\right)+t(1,1,1)$$ と表せる。この直線上の点と $Q$ との距離の二乗は $3t^2$ である。球面 $S$ 上にある条件は $\displaystyle 3t^2=r^2=\frac38$、すなわち $\displaystyle t=\pm\frac{\sqrt2}{4}$ である。したがって共有点は $$\displaystyle \left(\frac12+\frac{\sqrt2}{4},\frac14+\frac{\sqrt2}{4},\frac14+\frac{\sqrt2}{4}\right),\quad \left(\frac12-\frac{\sqrt2}{4},\frac14-\frac{\sqrt2}{4},\frac14-\frac{\sqrt2}{4}\right)$$ である。