3岡山大学 2015年 数学 第3問解答・解説

解答

(1) $f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$ より $$f_n'(x)=x^n\bigl((n+1)-(n+2)x\bigr).$$ $x=a_n$ における接線が原点を通る条件は $f_n(a_n)-a_nf_n'(a_n)=0$。$a_n>0$ を用いて整理すると $$a_n^{n+1}\bigl((n+1)a_n-n\bigr)=0,$$ したがって $\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}$。

(2) $0\le x\le1$ で $f_n(x)\ge0$ だから $$\displaystyle B_n=\int_0^1x^{n+1}(1-x)\,dx =\frac1{n+2}-\frac1{n+3} =\frac1{(n+2)(n+3)}.$$ 同様に $$\displaystyle C_n=\int_0^{a_n}x^{n+1}(1-x)\,dx =\frac{a_n^{n+2}}{n+2}-\frac{a_n^{n+3}}{n+3}.$$ ここで $$\displaystyle \frac1{n+2}-\frac{a_n}{n+3} =\frac{(n+3)-(n+2)a_n}{(n+2)(n+3)} =\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)},$$ ゆえに $$\displaystyle C_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+2} \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)}.$$

(3) $$\displaystyle \frac{C_n}{B_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+2}\frac{2n+3}{n+1} =\frac1{(1+1/n)^n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^2\frac{2n+3}{n+1}.$$ 問題文の極限から各因子は順に $1/e,1,2$ に収束するので $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac{C_n}{B_n}=\frac2e}.$$