4宮崎大学 2007年 数学 第4問解答・解説

関数の分母は $x^2+1>0$ であるから、$f$ はすべての実数で定義される。

(1)　 $$\displaystyle f(x)=\frac{2/x}{1+1/x^2}\quad (x\ne0)$$ より、$x\to\infty$、$x\to-\infty$ のいずれでも分子は $0$、分母は $1$ に近づく。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0,\qquad \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=0.$$ また、商の微分法により $$\displaystyle f'(x)=\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.$$ 分母は常に正であり、分子は $x<-1,\ x>1$ で負、$-1<x<1$ で正である。よって $f$ は $x<-1$ で減少し、$-1<x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。$f(-1)=-1,\ f(1)=1$ だから、極小値は $-1$（$x=-1$）、極大値は $1$（$x=1$）である。

(2)　 $a=2^{-n}$、$q=\sqrt{1-a^2}$ とおく。直線 $y=a$ と曲線の交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}=a \quad\text{すなわち}\quad ax^2-2x+a=0$$ を解いて $$\displaystyle x_1=\frac{1-q}{a},\qquad x_2=\frac{1+q}{a}\qquad (x_1\le x_2)$$ となる。したがって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S_n=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{2x}{x^2+1}-a\right)\,dx =\left[\ln(x^2+1)-ax\right]_{x_1}^{x_2}.$$ 交点では $x_i^2+1=2x_i/a$ であるから、 $$\displaystyle \frac{x_2^2+1}{x_1^2+1}=\frac{x_2}{x_1} =\frac{1+q}{1-q},\qquad a(x_2-x_1)=2q.$$ よって $$\displaystyle S_n=\ln\frac{1+q}{1-q}-2q.$$ さらに $1-q=(1-q^2)/(1+q)=a^2/(1+q)$ より $$S_n=-2\ln a+2\ln(1+q)-2q =n\ln4+2\ln\left(1+\sqrt{1-4^{-n}}\right)-2\sqrt{1-4^{-n}}.$$

(3)　 $q_n=\sqrt{1-4^{-n}}$、$g(q)=2\ln(1+q)-2q$ とおけば、(2)より $$S_n=n\ln4+g(q_n).$$ $q_n\to1$ であり、$g$ は $q=1$ で連続だから $g(q_n)\to g(1)$ および $g(q_{n+1})\to g(1)$ である。したがって $$S_{n+1}-S_n =\ln4+g(q_{n+1})-g(q_n)\longrightarrow\ln4.$$