1宮崎大学 2007年 数学 第1問解答・解説

左辺が定義されるので $\sin\theta-\cos\theta\ne0$。$K=3+2\sqrt2$ とおき、与式を交差乗算すると $$(K-1)\sin\theta=(K+1)\cos\theta.$$ 従って $$\displaystyle \cos\theta=\frac{K-1}{K+1}\sin\theta =\frac{2+2\sqrt2}{4+2\sqrt2}\sin\theta =\frac1{\sqrt2}\sin\theta.$$ $0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ だから、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に代入して $$\displaystyle \frac32\sin^2\theta=1,\qquad \sin\theta=\sqrt{\frac23}.$$

ここで $\displaystyle y=\log_2\frac{x}{2\sin\theta}$ と置く。$x>0$ かつ $\sin\theta>0$ なので $y$ は全実数を動き、$x=2\sin\theta\,2^y$ と戻せる。また $$\displaystyle \log_4\frac{x}{4\sin\theta} =\log_4(2^{y-1})=\frac{y-1}{2}.$$ 従って $$\displaystyle f(x)=\frac12y(y-1) =\frac12\left(y-\frac12\right)^2-\frac18\geq-\frac18.$$ 等号は $y=1/2$ で成立し、そのとき $$\displaystyle x=2\sqrt2\sin\theta=2\sqrt2\sqrt{\frac23}=\frac4{\sqrt3}>0.$$ この $x$ では元の二因子がそれぞれ $1/2,-1/4$ となり、積も $-1/8$ と確認できる。よって求める $x$ は $4/\sqrt3$、最小値は $-1/8$。

左辺が定義されるので $\sin\theta-\cos\theta\ne0$。$K=3+2\sqrt2$とおき、与式を交差乗算すると $(K-1)\sin\theta=(K+1)\cos\theta$。従って $\displaystyle \cos\theta=\frac{K-1}{K+1}\sin\theta=\frac1{\sqrt2}\sin\theta$。$0<\theta<\pi$より$\sin\theta>0$だから、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$に代入して $$\displaystyle \frac32\sin^2\theta=1,\qquad \sin\theta=\sqrt{\frac23}.$$

ここで $\displaystyle y=\log_2\frac{x}{2\sin\theta}$と置く。$x>0$かつ$\sin\theta>0$なので$y$は全実数を動き、$x=2\sin\theta\cdot2^y$と戻せる。さらに $$\displaystyle \log_4\frac{x}{4\sin\theta}=\log_4(2^{y-1})=\frac{y-1}{2}.$$ 従って $$\displaystyle f(x)=\frac{y(y-1)}2=\frac12\left(y-\frac12\right)^2-\frac18\ge-\frac18.$$ 等号は$\displaystyle y=\frac12$で成立し、$\displaystyle x=2\sqrt2\sin\theta=\frac4{\sqrt3}$。この$x$では元の二因子がそれぞれ$\displaystyle \frac12,-\frac14$となるため、積も$\displaystyle -\frac18$と確認できる。