5宮崎大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) $x\ge1$ とし、$h(x)=2\sqrt{x}-\log x$ とおく。 $$\displaystyle h'(x)=\frac1{\sqrt{x}}-\frac1x=\frac{\sqrt{x}-1}{x}\ge0.$$ よって $h(x)\ge h(1)=2>0$ であり、$\log x<2\sqrt{x}$。

(2) (1) に $x=n+1$ を代入し、$n\ge1$ で $$\displaystyle 0<\frac{\log(n+1)}n<\frac{2\sqrt{n+1}}n\longrightarrow0.$$ したがって $$\displaystyle (n+1)^{1/n}=\exp\!\left(\frac{\log(n+1)}n\right)\longrightarrow1.$$

(3) $\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}(2+\sin x)^n\,dx$ とおく。$2+\sin x\le3$ より $$\displaystyle I_n\le\frac\pi2 3^n, \qquad I_n^{1/n}\le3\left(\frac\pi2\right)^{1/n}\longrightarrow3.$$ 固定した $0<\delta<\pi/2$ に対して $\pi/2-\delta\le x\le\pi/2$ なら $\sin x\ge\cos\delta$ なので $$I_n\ge\delta(2+\cos\delta)^n, \qquad I_n^{1/n}\ge\delta^{1/n}(2+\cos\delta).$$ ゆえに $\displaystyle \liminf I_n^{1/n}\ge2+\cos\delta$。任意のこの $\delta$ で成り立つので $\delta\downarrow0$ とすれば $\displaystyle \liminf I_n^{1/n}\ge3$。上界から $\displaystyle \limsup I_n^{1/n}\le3$。よって $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\left\{\int_0^{\pi/2}(2+\sin x)^n\,dx\right\}^{1/n}=3}.$$