3東京大学 2005年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle f'(x)=\frac12\{1+e^{-2(x-1)}\}-x e^{-2(x-1)} =\frac12-\left(x-\frac12\right)e^{-2(x-1)}.$$ (1)　 $\displaystyle x>\frac12$ とし、 $$\displaystyle g(x)=\left(x-\frac12\right)e^{-2(x-1)}$$ とおく。すると $$g'(x)=2(1-x)e^{-2(x-1)}.$$ 指数関数は正なので、g は $\displaystyle \frac12<x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。したがって最大値は $$\displaystyle g(1)=\frac12$$ である。また $\displaystyle x>\frac12$ より $g(x)>0$ だから、 $$\displaystyle 0\le f'(x)=\frac12-g(x)<\frac12.$$

(2)　 f'(x)$\ge$0 より f は $\displaystyle x>\frac12$ で単調増加する。 $f'(x)>0$ は $x\ne1$ で成り立つので、$f(1)=1$ から $$\displaystyle \frac12<x<1\text{ ならば } f(x)<1,\qquad x>1\text{ ならば } f(x)>1.$$ さらに $$\displaystyle f(x)-x=\frac{x}{2}\left(e^{-2(x-1)}-1\right)$$ であり、$x>0$ より、$\displaystyle \frac12<x<1$ なら $f(x)>x$、$x>1$ なら $f(x)<x$ である。よって $$\displaystyle \frac12<x<1\text{ ならば } x<f(x)<1,\qquad x>1\text{ ならば } 1<f(x)<x.$$ したがって、$x_0$ が $1$ 未満なら $\{x_n\}$ は増加し$1$以下、$x_0$ が$1$より大なら減少し$1$以上であり、いずれも単調有界である。$x_0=1$ の場合は $x_n=1$ である。よって数列は極限 $L$ をもち、$\displaystyle x_0>\frac12$ から $\displaystyle L>\frac12$ である。$f$ の連続性と $x_{n+1}=f(x_n)$ より $L=f(L)$。$L>0$ なので $$\displaystyle L=\frac{L}{2}\left(1+e^{-2(L-1)}\right) \text{したがって} e^{-2(L-1)}=1 \text{したがって} L=1.$$ 従って $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}x_n=1$.