4琉球大学 2001年 数学 第4問解答・解説

解答

$A=(1-x)e^x$ とおくと、$x<1$ より $A>0$ である。各項は $$\displaystyle \log\left\{\left(A+\frac{k}{n}\right)^{1/n}\right\} =\frac1n\log\left(A+\frac{k}{n}\right).$$ したがって、$t\mapsto\log(A+t)$ は $0\le t\le1$ で連続なので、右端リーマン和より $$\displaystyle f(x)=\int_0^1\log(A+t)\,dt =\left[(A+t)\log(A+t)-(A+t)\right]_0^1 =(A+1)\log(A+1)-A\log A-1.$$ ここでは微積分の文脈に従い $\log$ を自然対数とする。

$x\to1-$ では $A\to0+$。問題文で与えられた $t\log|t|\to0$ と、$\log(1+A)\to0$ から $$(A+1)\log(A+1)\to0,\qquad A\log A\to0,$$ ゆえに $\displaystyle\lim\limits _{x\to1-}f(x)=-1$。

$F(A)=(A+1)\log(A+1)-A\log A-1$ とおくと $$\displaystyle F'(A)=\log\frac{A+1}{A}>0\quad(A>0),\qquad A'(x)=-xe^x.$$ よって $f'(x)=F'(A)A'(x)$ は $x<0$ で正、$0<x<1$ で負である。したがって $x=0$ で極大となり、$A=1$ を代入して極大値は $$f(0)=2\log2-1.$$ また $x\to-\infty$ および $x\to1-$ で $A\to0+$ だから $f(x)\to-1$。$F$ は $A>0$ で増加し、$A\to0+$ で $F(A)\to-1$ なので $F(A)>-1$。従って $-1$ は下限だが達成されず、極小値はない。