3琉球大学 2001年 数学 第3問解答・解説

問1

$\displaystyle B=\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}$ とおくと、成分を計算して $$\displaystyle AB=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}=E,\qquad BA=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}=E.$$ したがって、これが$A$の逆行列である。

問2

$$A^2=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}15&6\\-6&3\end{pmatrix}.$$ 一方、$2\alpha A-\alpha^2E=\begin{pmatrix}8\alpha-\alpha^2&2\alpha\\-2\alpha&4\alpha-\alpha^2\end{pmatrix}$ である。行列の右上成分を比べると$2\alpha=6$より$\alpha=3$。このとき対角成分もそれぞれ$15,3$、左下成分も$-6$となるので、等式を満たす。

問3

問2より$\alpha=3$である。また問2の等式の両辺に左から$B^2$を掛け、$BA=AB=E$を用いると、$$E=2\alpha B-\alpha^2B^2,\qquad \alpha^2B^2=2\alpha B-E$$を得る。

$n=1$では$\alpha B=\alpha B$で成立する。$n=k$で成立すると仮定すると、 $$\begin{aligned} \alpha^{k+1}B^{k+1}&=(\alpha^kB^k)(\alpha B)\\ &=\{k\alpha B-(k-1)E\}(\alpha B)\\ &=k\alpha^2B^2-(k-1)\alpha B\\ &=k(2\alpha B-E)-(k-1)\alpha B\\ &=(k+1)\alpha B-kE. \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、すべての自然数$n=1,2,\ldots$について$\alpha^nB^n=n\alpha B-(n-1)E$が成り立つ。

問4

$N=A-3E=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$とおくと、成分計算から$N^2=O$である。$A=3E+N$より、$m=1$で$A^m=3^mE+m3^{m-1}N$が成り立つ。これが$m$で成り立つとすると、 $$\begin{aligned} A^{m+1}&=(3^mE+m3^{m-1}N)(3E+N)\\ &=3^{m+1}E+3^mN+3m3^{m-1}N+m3^{m-1}N^2\\ &=3^{m+1}E+(m+1)3^mN. \end{aligned}$$ したがって、数学的帰納法によりこの式はすべての正整数$m$で成り立つ。ゆえに $$\begin{aligned} A^{100}&=3^{100}E+100\cdot3^{99}N\\ &=3^{99}\{3E+100(A-3E)\}\\ &=3^{99}(100A-297E)\\ &=3^{99}\begin{pmatrix}103&100\\-100&-97\end{pmatrix}. \end{aligned}$$