2琉球大学 2001年 数学 第2問解答・解説

問1. $y=1-x^2$ の導関数は $-2x$ だから、点 $P(t,1-t^2)$ における接線は $$L:\quad y-(1-t^2)=-2t(x-t),\qquad y=1+t^2-2tx.$$ $y=0$ とおくと、交点 $A$ のx座標は $$\displaystyle x_A=\frac{1+t^2}{2t}.$$

問2. $B=(0,1+t^2)$ である。また接線と放物線との差は $$(1+t^2-2tx)-(1-x^2)=(x-t)^2.$$ $0<t<1$ より $\displaystyle x_A-t=\frac{1-t^2}{2t}>0$。したがって、図形の範囲に合わせて積分すると $$\displaystyle S(t)=\int_0^t(x-t)^2\,dx=\frac{t^3}{3},\qquad T(t)=\int_t^{x_A}(x-t)^2\,dx =\frac13\left(\frac{1-t^2}{2t}\right)^3.$$ よって $$\displaystyle S(t)T(t)=\frac{(1-t^2)^3}{72}\longrightarrow\frac1{72} \qquad(t\to0+).$$

問3. $\displaystyle d(t)=\frac{1-t^2}{2t}$ とおくと、 $$\displaystyle S(t)+T(t)=\frac{t^3+d(t)^3}{3}.$$ であり、 $$\displaystyle d'(t)=-\frac{1+t^2}{2t^2},\qquad \frac{d}{dt}(S+T)=t^2+d(t)^2d'(t) =\frac{7t^6+t^4+t^2-1}{8t^4}.$$ $u=t^2$ とし、$p(u)=7u^3+u^2+u-1$ とおく。$0<u<1$ で $$p'(u)=21u^2+2u+1>0,\qquad p(0)=-1<0<p(1)=8.$$ したがって $p$ は $0<u<1$ の範囲にただ一つの零点 $u_0$ をもち、導関数の符号から $S+T$ は $\alpha=\sqrt{u_0}$ で最小になる。さらに $$\displaystyle p\left(\frac13\right)=-\frac8{27}<0$$ であり $p$ は増加するので $\displaystyle u_0>\frac13$、すなわち $3\alpha^2>1$。$\alpha>0$ かつ $d(\alpha)>0$ であり、 $\alpha>d(\alpha)$ であるための必要十分条件は $$2\alpha^2>1-\alpha^2,\quad \text{すなわち}\quad 3\alpha^2>1.$$ よって $\alpha>d(\alpha)$ であり、立方して $$\displaystyle S(\alpha)=\frac{\alpha^3}{3}>\frac{d(\alpha)^3}{3}=T(\alpha).$$ 以上で示された。