1札幌医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(0)=a^5>0$ だから根は0でない。$x\ne0$ で $$\displaystyle g(x)=\frac{(x^2+a)(x-a^2)^2}{x^2}$$ とおくと $f(x)=0$ は $g(x)=c$ と同値である。$g\ge0$ なので $c<0$ では根なし，$c=0$ では $x=a^2$ の1根。 $$\displaystyle g'(x)=\frac{2(x-a^2)(x^3+a^3)}{x^3}.$$ 負の範囲では $x=-a$ まで減少，その後増加し，両端で $+\infty$，最小値は $g(-a)=a(a+1)^3$。正の範囲では $x=a^2$ まで減少，その後増加し，最小値0，両端で $+\infty$。従って異なる実根の個数は $$\begin{cases}0&(c<0),\\1&(c=0),\\2&(0<c<a(a+1)^3),\\3&(c=a(a+1)^3),\\4&(c>a(a+1)^3).\end{cases}$$ (2) 3根の場合 $c=a(a+1)^3$ であり，展開して $$f(x)=(x+a)^2\{x^2-2a(a+1)x+a^3\}.$$ よって根は $-a$ と $r_\pm=a(a+1\pm\sqrt{a^2+a+1})$。$a+1>\sqrt{a^2+a+1}$ より後二根は正で異なる。 (3) 非負の有界部分は $-a\le x\le r_-$。$x=au$ と置換して $$\displaystyle \frac{S(a)}{a^5}=\int_{-1}^{\alpha(a)}(u+1)^2\{u^2-2(a+1)u+a\}\,du,\quad \alpha(a)=\frac{a}{a+1+\sqrt{a^2+a+1}}\to0.$$ 被積分関数は多項式なので，原始関数の端値に極限を代入できる。従って $$\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}\frac{S(a)}{a^5}=\int_{-1}^0(u^4-3u^2-2u)\,du =\left[\frac{u^5}5-u^3-u^2\right]_{-1}^0=\frac15.$$