4札幌医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) 部分積分を用いると、 $$\displaystyle \int t\sin t\,dt=-t\cos t+\int\cos t\,dt=-t\cos t+\sin t+C.$$ また、 $$\displaystyle \int t^2\cos t\,dt=t^2\sin t-2\int t\sin t\,dt=t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t+C.$$

(2) $P$ は半直線 $OP$ 上にあるので、$P=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ とおく。円 $C$ の方程式 $x^2+(y-1)^2=1$ に代入すると、$r^2-2r\sin\theta=0$ となる。原点でない交点では $r=2\sin\theta$ だから、 $$P=(2\sin\theta\cos\theta,2\sin^2\theta)=(\sin2\theta,1-\cos2\theta).$$ この式は $\theta=0$ のときも $P=O$ を表す。

(3) $A$ を中心とする半径ベクトルは $\overrightarrow{AP}=(\sin2\theta,-\cos2\theta)$ である。これは中心角 $\displaystyle 2\theta-\dfrac{\pi}{2}$ の方向を向くので、$O$ から $P$ までの、$x\geq0$ にある弧の長さは半径が $1$ であることから $2\theta$ である。中心角が増す向きの接線の単位ベクトルは $(\cos2\theta,\sin2\theta)$ である。$\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin2\theta>0$ なので、$y_q\leq y_p$ を満たす向きはその反対向きである。よって $$Q=P-2\theta(\cos2\theta,\sin2\theta)=(\sin2\theta-2\theta\cos2\theta,\ 1-\cos2\theta-2\theta\sin2\theta).$$ $\theta=0$ では指定どおり $Q=O$ となり、$\displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{2}$ ではこの式から $Q=(\pi,2)$ となって指定にも一致する。

(4) $$y_q=1-\cos2\theta-2\theta\sin2\theta,\qquad y_q'=-4\theta\cos2\theta.$$ $\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$ では $y_q'<0$、$\displaystyle \dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $y_q'>0$ である。したがって最小値は $\displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときの $\displaystyle 1-\dfrac{\pi}{2}$ である。端点では $y_q(0)=0$、$\displaystyle y_q(\dfrac{\pi}{2})=2$ なので、最大値は $2$ である。

(5) $$x_q=\sin2\theta-2\theta\cos2\theta,\qquad x_q'=4\theta\sin2\theta.$$ $\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で $x_q'>0$ であり、$x_q$ は $0$ から $\pi$ まで増加する。また条件より $y_q\leq y_p\leq2$ だから、求める面積は $$\displaystyle S=\int_0^\pi(2-y_q)\,dx_q=\int_0^{\pi/2}(1+\cos2\theta+2\theta\sin2\theta)4\theta\sin2\theta\,d\theta.$$ ここで $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4},\qquad \int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta\cos2\theta\,d\theta=-\frac{\pi}{16},$$ また、$\displaystyle \sin^2 2\theta=\dfrac{1-\cos4\theta}{2}$ と $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta^2\cos4\theta\,d\theta=\left[\frac{\theta^2\sin4\theta}{4}+\frac{\theta\cos4\theta}{8}-\frac{\sin4\theta}{32}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{16}$$ より、 $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\theta^2\sin^2 2\theta\,d\theta=\frac{\pi^3}{48}-\frac{\pi}{32}.$$ したがって $$\displaystyle S=4\cdot\frac{\pi}{4}+4\left(-\frac{\pi}{16}\right)+8\left(\frac{\pi^3}{48}-\frac{\pi}{32}\right)=\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi}{2}.$$ なお、(1)の原始関数はいずれも微分するとそれぞれの被積分関数に戻る。