4福井大学 2014年 数学 第4問解答・解説

[1](1) $\displaystyle I_n=\int_0^1t^ne^t\,dt$ とおくと、$I_0=e-1$。$n\ge1$ について部分積分より $$I_n=e-nI_{n-1}.$$ 従って $I_n=a_ne+b_n$ と書けば、初期値 $(a_0,b_0)=(1,-1)$ から $$a_n=1-na_{n-1},\qquad b_n=-nb_{n-1}$$ で定まる整数が存在する。もし二組あれば $(a_n-a'_n)e=-(b_n-b'_n)$。$e$ は無理数だから両整数差は0で、一意である。漸化式から $b_n=(-1)^{n+1}n!$。

[1](2) $$a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}=[1-(n+1)a_n]b_n-a_n[-(n+1)b_n]=b_n=(-1)^{n+1}n!.$$

[2] $u=\pi/2-x$ と置換すると $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)\,dx=\int_0^{\pi/2}f(\pi/2-u)\,du.$$ これを使い、求める積分を $J$ とすると $$\displaystyle J=-\int_0^{\pi/2}\frac{\cos3x}{\sin x+\cos x}\,dx, \quad 2J=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin3x-\cos3x}{\sin x+\cos x}\,dx.$$ $u=x-\pi/4$ とすれば被積分関数は $\cos3u/\cos u=2\cos2u-1$。よって $$\displaystyle 2J=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(2\cos2u-1)\,du=2-\frac\pi2,$$ したがって $J=1-\pi/4$。