3福井大学 2014年 数学 第3問解答・解説

解答（行列計算による証明） $\displaystyle A=\dfrac14\begin{pmatrix}5&3\\3&5\end{pmatrix}$ とし，$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ とおく。$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とすれば $$\displaystyle AR(\theta)=\frac14\begin{pmatrix}5c+3s&-5s+3c\\3c+5s&-3s+5c\end{pmatrix}.$$

(1) $AR(\theta)=R(\theta)\operatorname{diag}(a,b)$ の第1列を比べると $$5c+3s=4ac,\qquad 3c+5s=4as.$$ ここで $c,s$ はともに正である。実際，$c=0$ または $s=0$ を上式に代入すると矛盾する。$a$ を消去すると $s(5c+3s)=c(3c+5s)$，従って $s^2=c^2$。$c,s>0$ だから $c=s=1/\sqrt2$，すなわち $\theta=\pi/4$。上の積の第1列から $a=2$。第2列を比べれば $b=1/2$。従って $$A=R(\pi/4)D R(\pi/4)^T,\qquad D=\operatorname{diag}(2,1/2).$$

(2) $R(\pi/4)^T=R(\pi/4)^{-1}$ なので，正整数 $n$ について $$A^n+(A^{-1})^n=R(\pi/4)\begin{pmatrix}2^n+2^{-n}&0\\0&2^{-n}+2^n\end{pmatrix}R(\pi/4)^T=(2^n+2^{-n})I.$$

(3) $A=B^2$ とする。このとき $AB=B^2B=B^3=BB^2=BA$。$C=R(\pi/4)^TBR(\pi/4)=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とおけば，$AB=BA$ は $DC=CD$ と同値である。成分を比べると $$DC=\begin{pmatrix}2p&2q\\r/2&s/2\end{pmatrix},\qquad CD=\begin{pmatrix}2p&q/2\\2r&s/2\end{pmatrix},$$ 従って $q=r=0$。ゆえに $C=\operatorname{diag}(p,s)$ であり，$C^2=D$ から $p^2=2,\ s^2=1/2$。よって全ての解は $$B=R(\pi/4)\operatorname{diag}(\varepsilon\sqrt2,\delta/\sqrt2)R(\pi/4)^T, \qquad \varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }1\text{ または }-1.$$