3岡山大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 一次変換は $(x,y)\mapsto(x,2x+3y)$ だから、 $$Q=(2+\cos\theta,\ 4+2\cos\theta+3\sin\theta).$$

(2) $x$ 座標は $2+\cos\theta$ であり、その最小値1と最大値3はともに実現する。$c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$ とおくと $$(2c+3s)^2\le(2^2+3^2)(c^2+s^2)=13,$$ 等号は $(c,s)=\pm(2,3)/\sqrt{13}$ のときに成り立つ。したがって $y$ 座標の範囲は $4-\sqrt{13}\le y\le4+\sqrt{13}$ で、両端とも実現する。よって $Q$ を含む長方形には幅が少なくとも $2$、高さが少なくとも $2\sqrt{13}$ 必要であり、これらを境界とする長方形で等号が成り立つ。ゆえに $$\boxed{a_1=1,\quad a_2=3,\quad b_1=4-\sqrt{13},\quad b_2=4+\sqrt{13}}.$$

(3) 中心 $(2,4)$ から $Q$ までの距離を $d$ とすると $$d^2=\cos^2\theta+(2\cos\theta+3\sin\theta)^2 =7-2\cos2\theta+6\sin2\theta.$$ $c_2=\cos2\theta$, $s_2=\sin2\theta$ とおけば $$-2c_2+6s_2\le\sqrt{(-2)^2+6^2}=2\sqrt{10}.$$ 等号は $(c_2,s_2)=(-1,3)/\sqrt{10}$ のとき実現する。したがって最大距離は $$\displaystyle d_{\max}=\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt5+\sqrt2,$$ よって領域 $H$ に必要な最小半径は $\boxed{r=\sqrt5+\sqrt2}$ である。