広島大学 2013年数学第1問解答・解説

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1問題

広島大学2013年度第1問

$\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とする。座標平面上で原点 $O$ を通り傾きが $\tan\theta$ の直線を $\ell$ とし，行列　 $\begin{pmatrix}\cos^{2}\theta&\sin\theta\cos\theta\\\sin\theta\cos\theta&\sin^{2}\theta\end{pmatrix}$ 　の表す1次変換を $f$ とする。座標平面上に2点 $P,Q$ がある。次の問いに答えよ。

(1) 線分 $OP$ が直線 $\ell$ と垂直であるとき，1次変換 $f$ による点 $P$ の像を求めよ。

(2) 1次変換 $f$ による点 $Q$ の像を $R$ とする。このとき $\left|\overrightarrow{OR}\right|\leq\left|\overrightarrow{OQ}\right|$ が成り立つことを示せ。さらに等号が成立する場合を調べよ。

(3) 1次変換 $f$ による点 $(1,1)$ の像を $S$ とする。このとき $\left|\overrightarrow{OS}\right|$ が最大となる $\theta$ と最小となる $\theta$ をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$\boldsymbol u=(\cos\theta,\sin\theta)$ 、 $\boldsymbol v=(-\sin\theta,\cos\theta)$ とおく。　両者は直交する単位ベクトルで、 $\boldsymbol u$ は $\ell$ 方向である。　行列の成分乗算から、任意の $X=(x,y)$ について $\overrightarrow{Of(X)}=(x\cos\theta+y\sin\theta)\boldsymbol u=(\overrightarrow{OX}\cdot\boldsymbol u)\boldsymbol u.$ (1) $OP\perp\ell$ なので内積が0となり、像は原点 $O$ 。

(2) $\overrightarrow{OQ}=\alpha\boldsymbol u+\beta\boldsymbol v$ とおくと、 $\overrightarrow{OR}=\alpha\boldsymbol u$ 。　従って $OR^2=\alpha^2\le\alpha^2+\beta^2=OQ^2.$ 等号は $\beta=0$ 、すなわち $Q$ が $\ell$ 上の場合（ $Q=O$ を含む）。

(3) $OS=|\cos\theta+\sin\theta|=\sqrt2|\cos(\theta-\pi/4)|$ 。　指定区間内では $\theta=\pi/4$ で最大値 $\sqrt2$ 、 $\theta=-\pi/4$ で最小値0となる。

この問題で使う考え方

成分乗算
内積
三角関数の合成

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