5東京大学 2012年 数学 第5問解答・解説

まず条件(D)の面積を成分で表す。2辺のベクトルを$(a,b),(c,d)$、そのなす角を$\theta$とすると、平行四辺形の面積の2乗は $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\sin^2\theta =(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2.$$ したがって条件(D)は、成分がすべて整数で$|ad-bc|=1$となることである。この等式は2辺が平行でないことも保証する。

(1)

直接掛け算をすると$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$であり、 $$BA=\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix},\qquad B^{-1}A=\begin{pmatrix}a-c&b-d\\c&d\end{pmatrix}.$$ 成分はいずれも整数である。また $$(a+c)d-(b+d)c=ad-bc,\qquad(a-c)d-(b-d)c=ad-bc$$ より両者の面積も1となる。従ってともに(D)を満たす。

(2)

$c=0$なら$|ad|=1$。$a,d$は整数なので$a,d\text{ はそれぞれ }1\text{ または }-1$である。$B$を左から掛けると$b$が$b+d$に、$B^{-1}$を掛けると$b-d$に変わり、$a,c,d$は変わらない。 $d=\pm1$だから$b\ne0$の間は、$b$の絶対値が1ずつ減る方を選べばよい。$|b|$回で$b=0$となる（初めから$b=0$なら操作不要）。その結果は $$\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\quad(a,d\text{ はそれぞれ }1\text{ または }-1)$$ であり、指定された4行列のいずれかである。

(3)

$|a|\ge|c|>0$なので$a,c$はともに零でない。同符号なら$B^{-1}A$を選ぶ。このとき $$|x|+|z|=|a-c|+|c|=(|a|-|c|)+|c|=|a|<|a|+|c|.$$ 異符号なら$BA$を選ぶ。このときも $$|x|+|z|=|a+c|+|c|=(|a|-|c|)+|c|=|a|<|a|+|c|.$$ 従って少なくとも一方が所定の不等式を満たす。