6東京大学 2012年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle \begin{gathered} \text{(1) }d=a-b\ge0\text{ とおく。直接計算すると} \\ U(t)AU(-t)-B=d\begin{pmatrix}\cos^2t&\sin t\cos t\\\sin t\cos t&-\cos^2t\end{pmatrix},\qquad U(x)\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}U(-x)=\begin{pmatrix}\cos2x&\sin2x\\\sin2x&-\cos2x\end{pmatrix}. \\ \text{したがって、積の対角成分の和をとると} \\ f(x)=2d\left(\cos^2t\cos2x+\sin t\cos t\sin2x\right). \\ \text{恒等式 }A\cos\theta+B\sin\theta\le\sqrt{A^2+B^2}\text{ と、}\theta\text{ を全実数動かせば等号となることから、} \\ m(t)=\sqrt{(2d\cos^2t)^2+(2d\sin t\cos t)^2}=2(a-b)|\cos t|. \\[4pt] \text{(2) }\rho=|\cos t|\text{ とおくと、}0\le\rho\le1\text{ である。行列の積の対角成分を計算すると、} \\ \operatorname{Tr}(U(t)AU(-t)+B)=2(a+b). \\ K=a^c b^{1-c}+b^c a^{1-c}\text{ とおけば、} \\ \operatorname{Tr}(U(t)CU(-t)D)=(a+b)\sin^2t+K\cos^2t=a+b-(a+b-K)\rho^2. \\ \text{また、}a/b\ge1\text{ かつ }c,1-c\ge0\text{ なので} \\ K=b\left((a/b)^c+(a/b)^{1-c}\right)\ge2b, \qquad \delta:=a+b-K\le a-b. \\ \text{ゆえに }\delta\rho\le\max(\delta,0)\le a-b\text{ であり、} \\ \operatorname{Tr}(U(t)CU(-t)D)-\left(a+b-(a-b)\rho\right) =\rho\left((a-b)-\delta\rho\right)\ge0. \\ \text{両辺を2倍し、(1)の }m(t)=2(a-b)\rho\text{ と }\operatorname{Tr}(U(t)AU(-t)+B)=2(a+b)\text{ を代入すれば、求める不等式を得る。} \end{gathered}$$