1東京医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) 両辺を3乗して整理すると $(a+3b-301)\sqrt a=(3a+b-319)\sqrt b$ を得る。係数の一方が0なら等式より他方も0である。両方が0でないと仮定すれば，$\sqrt{a/b}$ が有理数となり，$\sqrt{ab}=b\sqrt{a/b}$ も有理数となる。$ab$ は整数なのでこの平方根は整数となり，条件に反する。よって両係数はともに0であり，$a+3b=301$，$3a+b=319$ を解くと $b=73,a=82$。実際，$82\cdot73=5986$ は $77^2=5929$ と $78^2=6084$ の間なので条件を満たす。

(2) $A=6\sqrt{\cos\beta}$，$B=\sqrt{15\sin\beta}$ とおく。$A,B\ge0$ であり，ベクトル $(A,B)$ と $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ の内積の絶対値は長さの積以下であり、後者の長さは1だから $(A\cos\alpha+B\sin\alpha)^2\le A^2+B^2$。等号は適切な $\alpha$ で成立する。よって最大値は $36\cos\beta+15\sin\beta$ の最大値である。同様にベクトル $(36,15)$ と $(\cos\beta,\sin\beta)$ の内積を考えると $36\cos\beta+15\sin\beta\le\sqrt{36^2+15^2}\sqrt{\cos^2\beta+\sin^2\beta}=39$。$\cos\beta=12/13,\sin\beta=5/13$ とできるので最大値39をとる。

(3) $d_m=\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]m$ とおくと，有理化により $d_m=1/D_m$，ただし $D_m=(\sqrt[3]{m+1})^2+\sqrt[3]{m+1}\sqrt[3]m+(\sqrt[3]m)^2$。$D_m$ は $m$ とともに増加するから $d_m$ は減少する。さらに $193^3=7189057>65\cdot48^3=7188480$ より $\sqrt[3]{65}<193/48$，したがって $d_{64}<1/48$。一方 $191^3=6967871>63\cdot48^3=6967296$ より $\sqrt[3]{63}<191/48$，したがって $d_{63}>1/48$。よって $m\le63$ では不等式を満たさず，最小値は64。

(4) $f(x)=x^{4/3}$ とおけば，求める左辺は $\displaystyle f(n+1)-f(n)=\int_n^{n+1}\frac43\sqrt[3]x\,dx$。被積分関数は増加するので，この差は $n$ とともに増加する。$x<27000$ なら $\displaystyle \frac43\sqrt[3]x<40$ であるから $n=26999$ では差が40未満であり，それより小さい $n$ でも40未満。$x>27000$ なら $\displaystyle \frac43\sqrt[3]x>40$ なので $n=27000$ では差が40より大きい。したがって最小値は27000。