3東京医科大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$-1\leq \sin x\leq 1$ より $$\displaystyle \frac{\sqrt{62}}{3}\leq f(x)=\sqrt{9+\frac{19}{9}\sin x}\leq \frac{10}{3}$$ である。したがって $F'(x)=f(x)>0$ である。また、$u=x+t$ と置換すると $$\displaystyle S(x)=\int_x^{2x}f(u)\,du$$ だから、積分の上端・下端について微分して $$\displaystyle S'(x)=2f(2x)-f(x)\geq \frac{2\sqrt{62}-10}{3}>0.$$ よって $S$ は異なる $x$ に対して同じ値をとらずに増加し、さらに導関数が正の定数で下から押さえられるので、$x\to\infty$ で $S(x)\to\infty$、$x\to-\infty$ で $S(x)\to-\infty$ となる。したがって $S$ の逆関数 $g$ が存在する。

まず $$\displaystyle F'\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\sqrt{9+\frac{19}{9}}=\frac{10}{3},$$ $$\displaystyle S'\left(\frac{\pi}{2}\right)=2f(\pi)-f\left(\frac{\pi}{2}\right) =2\cdot 3-\frac{10}{3}=\frac{8}{3}.$$ また $S(0)=0$ より $g(0)=0$ であり、逆関数の微分公式から $$\displaystyle g'(0)=\frac{1}{S'(g(0))}=\frac{1}{S'(0)}=\frac{1}{f(0)}=\frac13.$$ さらに $$\displaystyle f'(x)=\frac{19\cos x}{18f(x)},\qquad S''(x)=4f'(2x)-f'(x).$$ したがって $f'(0)=19/54$、$S''(0)=3f'(0)=19/18$ である。恒等式 $S(g(x))=x$ を二度微分すると $$\displaystyle g''(x)=-\frac{S''(g(x))}{\{S'(g(x))\}^{3}}$$ を得るので、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{g'(x)-g'(0)}{x} =g''(0)=-\frac{S''(0)}{\{S'(0)\}^{3}} =-\frac{19/18}{3^3}=-\frac{19}{486}.$$